[Arkanon]

Buenas a todos, escribo este post para pedir ayuda con un problema de estadística de v.a continua, pero cuya cte. no consigo averiguar. Os escribo el problema:

Sea X una v.a. continua con función de densidad

\( f(x)=\begin{Bmatrix}{ ae^{-x}}&\mbox{ si }& -1\leq{x}\le{0}\\\displaystyle\frac{3}{4}xe^x & \mbox{si}& 0\leq{x}\le{1}\\0 & fuera\end{matrix} \)

Determinar:
-El valor de la cte. a

Espero que me podais ayudar con este problemilla, puesto que llevo ya unos días dándole vueltas, y no consigo sacar un valor que sirva para la constante. Para resolverlo aplico la propiedad de la función de distribución:

\( \displaystyle\int_{{-}\infty}^{\infty} f(x) dx=1 \)

¿Es correcto el uso no? Muchas gracias por adelantado!! 

[Carlos Ivorra]

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = a\int_{-1}^0 e^{-x}\,dx +\frac34\int_0^1xe^x\,dx=1 \)

Calcula las integrales y despeja \( a \) de la ecuación.

[Arkanon]

He hecho como tú dices, y el valor que obtengo para a es:

\( a = \displaystyle\frac{e}{4(1-e)} \)

El caso es que después, otro apartado, me pide calcular su función de distribución, y a la hora de calcularla, no consigo que su valor sea 1 para \( {x}\geq{1} \), por eso mi duda.

Muchas gracias por responder! 

[Carlos Ivorra]

No da eso. La primera integral da \( e-1 \) y la segunda \( 3/4 \), con lo que \( a = \color{red}\frac 1{4(e-1)} \). Lo que dices luego no lo entiendo. ¿Qué es lo que tiene que valer 1?

[Arkanon]

Perdona, no me he explicado bien con el otro apartado.

Me pide determinar la función de distribución de X, es decir, la primitiva de f(x); según lo que me han explicado, la función de distribución es creciente en todo el dominio, y que \( f({-}\infty)=0 \), \( f(\infty)=1 \). En esta función vale 1 evaluada en \( {x}\geq{1} \), por ser la suma de probabilidades de todos los puntos en \( \mathbb{R} \), de acuerdo con la teoría, al menos eso me ha explicado la profesora (o he entendido yo, que soy un melón  ).

Supongo que lo que digo viene condicionado porque no he integrado bien la primera integral, ya que a mi me daba \( -1 + \displaystyle\frac{1}{e} \), y no lo que me has dicho. Volveré a revisarlo entero, pero mi fallo debe ser ese.

Muchas gracias por tu respuesta, Carlos!

[Carlos Ivorra]

Me pide determinar la función de distribución de X, es decir, la primitiva de f(x); según lo que me han explicado, la función de distribución es creciente en todo el dominio, y que \( f({-}\infty)=0 \), \( f(\infty)=1 \). En esta función vale 1 evaluada en \( {x}\geq{1} \), por ser la suma de probabilidades de todos los puntos en \( \mathbb{R} \), de acuerdo con la teoría, al menos eso me ha explicado la profesora (o he entendido yo, que soy un melón  ).

Lo has entendido perfectamente y te habías explicado bien. Era yo el que no te había entendido. Todo lo que dices es correcto y, si calculas bien las integrales, te cuadrará. La primera es inmediata y la segunda sale por partes. Si no te da lo que te dije, escribe tus cálculos y buscaremos el fallo.

[Arkanon]

He estado revisando, y tenías razón, era culpa de la integral. Ahora al despejar me sale \( a = \displaystyle\frac{1}{4(e-1)} \). A ti no te sale lo mismo en el numerador, pero supongo que al escribirlo rápido no lo habrás puesto bien, o que has hecho algo que yo me he saltado.

Las integrales, sin evaluar, me salen (ya con a despejada) :

\( \displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)dx= \displaystyle\frac{-e^{-x}}{4(e-1)}
\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)dx= \displaystyle\frac{3(xe^x-e^x)}{4} \)

Pero para la función de distribución sigue sin salirme 1. Te escribo lo que tengo, porque no sé dónde me estoy equivocando:

\( f(x)=\begin{Bmatrix}{\displaystyle\frac{-e^{-x}}{4(e-1)} }&\mbox{ si }& -1\leq{x}\leq{0}\\\displaystyle\frac{-1}{4(e-1)}+\displaystyle\frac{3(xe^x-e^x)}{4} & \mbox{si}& 0\leq{x\leq{1}}\\1 & \mbox{si}& {x}\geq{1}\end{matrix} \)

Al evaluarlo en 1, sigue sin salirme eso, 1, por lo que debe ser error mío al calcular dicha función, pero no veo dónde cometo el error.

Un saludo, y gracias!

[Carlos Ivorra]

He estado revisando, y tenías razón, era culpa de la integral. Ahora al despejar me sale \( a = \displaystyle\frac{1}{4(e-1)} \). A ti no te sale lo mismo en el numerador, pero supongo que al escribirlo rápido no lo habrás puesto bien, o que has hecho algo que yo me he saltado.

Había puesto el denominador al revés. Ya lo he arreglado. Es como tú dices.

Para \( -1\leq x\leq 0 \) tenemos que

\( f(x) =\displaystyle  \int_{-1}^x\frac{e^{-x}}{4(e-1)}\,dx =-\frac{e^{-x}}{4(e-1)}+\frac{e}{4(e-1)}  \)

de modo que \( f(0) = 1/4 \). Por lo tanto, para \( 0\leq x\leq 1 \) tenemos que

\( f(x) = \displaystyle \int_{-1}^0\frac{e^{-x}}{4(e-1)}\,dx+\int_0^x\frac34 xe^x\,dx = \frac14+\int_0^x\frac34 xe^x\,dx = \frac14+\frac{3(xe^x-e^x)}{4}+\frac34 \) \( = \displaystyle 1+\frac{3(xe^x-e^x)}{4} \)

Tu error era que no aplicabas bien la regla de Barrow (restando el valor de la primitiva en x menos el valor de la primitiva en \( -1 \) en el primer caso y en \( 0 \) en el segundo, te dejabas esta segunda parte).

[Arkanon]

He estado revisando, y tenías razón, era culpa de la integral. Ahora al despejar me sale \( a = \displaystyle\frac{1}{4(e-1)} \). A ti no te sale lo mismo en el numerador, pero supongo que al escribirlo rápido no lo habrás puesto bien, o que has hecho algo que yo me he saltado.

Había puesto el denominador al revés. Ya lo he arreglado. Es como tú dices.

Para \( -1\leq x\leq 0 \) tenemos que

\( f(x) =\displaystyle  \int_{-1}^x\frac{e^{-x}}{4(e-1)}\,dx =-\frac{e^{-x}}{4(e-1)}+\frac{e}{4(e-1)}  \)

de modo que \( f(0) = 1/4 \). Por lo tanto, para \( 0\leq x\leq 1 \) tenemos que

\( f(x) = \displaystyle \int_{-1}^0\frac{e^{-x}}{4(e-1)}\,dx+\int_0^x\frac34 xe^x\,dx = \frac14+\int_0^x\frac34 xe^x\,dx = \frac14+\frac{3(xe^x-e^x)}{4}+\frac34 \) \( = \displaystyle 1+\frac{3(xe^x-e^x)}{4} \)

Tu error era que no aplicabas bien la regla de Barrow (restando el valor de la primitiva en x menos el valor de la primitiva en \( -1 \) en el primer caso y en \( 0 \) en el segundo, te dejabas esta segunda parte).

Aaaaah, que fallo más grande; estaba tan centrado en el intervalo, que en vez de evaluarlo para cualquier x, lo evaluaba para 0, por eso no tenía sentido lo que me salía.

Ahora si he comprendido cuál era el error. Muchas gracias otra vez Carlos, por explicarme ese detalle con más detenimiento ^^
Un saludo!