Hola
GaussaTengo que demostrar que si \( P(A_n)=1, \forall{ n\geq{1}}, \Rightarrow{P\left(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i\right)=1} \).
Lo he hecho de dos formas distintas. En la primera, he usado la desigualdad de Boole. Como \( P(A_n)=1 \), \( P(A_n^c)=0 \). Por otra parte, \( P\left(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i\right)\leq{1} \)(*). Por tanto, \( 1{\green \geq} P\left(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i\right){\red \geq}{1- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n^c)} \), y como \( \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n^c)}=0 \), \( P\left(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i\right)=1 \).
Está bien esta demostración, pero te faltó justificar lo que está en rojo (para lo cual se usa la desigualdad de Boole, como bien dices, pero en ningún momento aclaras su uso). No es tan evidente esa desigualdad como para darla por obvia, al menos para mi. Antes de escribirla, podrías haber dicho algo como que \( \displaystyle\bigcap_{i=1}^{\infty}{A_i}=\Big(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_i^C}\Big)^C \) (ley de Morgan) y por lo tanto:
\( \displaystyle P\Big(\bigcap_{i=1}^{\infty}{A_i}\Big)=P\left(\Big(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_i^C}\Big)^C\right)=1-P\Big(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_i^C}\Big) \)
Ahora, por la desigualdad de Boole, como \( \displaystyle P\Big(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_i^C}\Big)\leq \sum_{i=1}^\infty P(A_i^C) \) se tiene que \( -\displaystyle P\Big(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_i^C}\Big)\geq -\sum_{i=1}^\infty P(A_i^C) \) y sumando 1 a ambos miembros se tiene la desigualdad que tú escribiste. Todo eso yo lo pondría donde está el asterisco. Fijate que lo que sigue involucra dos desigualdades y tú sólo has justificado una (la verde).
Como \( P(A_n)=1 \), \( \lim P(A_n)=1 \)*(¿esto es así?)
Correcto.
Si pruebo que \( P(\lim A_n)=\lim P(A_n)=1 \), ya lo tendré demostrado.
En realidad lo que te interesa probar es que \( \displaystyle P\Big(\bigcap_{i=1}^{\infty}{A_i}\Big)=1 \) pero a priori no sabes si \( \displaystyle \lim A_i=\bigcap_{i=1}^{\infty}{A_i} \) (eso ocurriría por ejemplo, si fuera una sucesión decreciente de sucesos). Pero es una sucesión cualquiera, ni siquiera sabes si existe el límite (o sea, si coincide el límite superior con el inferior). No es tan fácil me parece (por ese camino)
Ahora pretendo averiguar el valor de \( p \)
\( \displaystyle{\red p}\sum_{j=1}^N{2^{j-1}}=p\displaystyle\sum_{i=0}^{{\red N-1}}{2^i}=\displaystyle\frac{1-2^{\red N}}{1-2}=1 \),
\( p=\displaystyle\frac{1}{2^N-1} \)
Con esos pequeños detalles, estaría bien.
Luego intento aplicar la ley de Laplace, pero me queda en función de \( n \) y no creo que lo haga bien.
¡Cuidado! Los \( w_j \) no son equiprobables. O sea, no se cumple que \( P(\{w_j\})=P(\{w_i\}) \) para cualesquiera \( i, j \). Si llamas \( p_i=P(\{w_i\}) \) la relación de recurrencia es:
\( \begin{Bmatrix} p_1=\frac{1}{2^{N}-1}\\ p_{i+1}=2p_i\end{matrix} \)
Como tú ya calculaste la solución es \( p_n=\frac{1}{2^{N}-1}\cdot 2^{n-1} \) para todo \( n=1,2,\cdots, N \).
Piensa ahora que \( A=\{w_1\}\cup \{w_2\}\cup \cdots \cup \{w_k\} \) y estos sucesos son disjuntos, pues son los resultados de un experimento. Es como si tiras un dado. El espacio muestral es \( \Omega=\{1,2,3,4,5,6\} \). Obviamente el suceso \( \{1\} \) es disjunto del suceso \( \{3\} \), ¡pues si obtuvimos 1, no pudimos haber sacado 3! Por lo tanto, \( P(A)=P(\{w_1\})+P(\{w_2\})+\cdots+P(\{w_k\}) \), es decir, usando la notación de antes, \( \sum_{n=1}^kp_n \).
Saludos
