[FireRaptor]

Hola. Escribo aquí por una duda con un ejercicio, en el que me dan combinatoria, y una función discreta; lo que ocurre es que nunca he trabajado con ejercicios de dicho estilo, y por lo tanto no tengo mucha seguridad de todo:

Una compañía realiza una inversión de -100.000, y puede obtener un ingreso por medio de tres compañías:

Por la compañía X puede obtener ingreso de 80.000 con probabilidad de 1/2, y de 50.000 con probabilidad de 1/2.
Por la compañía y Puede tener un ingreso de 100.000 con probabilidad de 1/6, de 50.000 con probabilidad de 2/3 y en caso contrario, el ingreso es de 10.000.
La compañía Z tiene una distribución de probabilidad uniforme (50.000;100.000)

Cuál es el valor esperado del dinero que se gana?, obviamente si es menor a 100.000 se pierde.

Lo que yo he intentando es sacar el valor esperado de cada una de las compañías y sumarlo:
W=x+y+z

\( E(w)=E(x)+E(y)+E(z) \)
\( E(x)=80.000(1/2)+50.000(1/2)=65.000 \)
\( E(y)=100.000(1/6)+50.000(2/3)+10.000(1/6)=51.666 \)
\( E(z)=\displaystyle\frac{100.000+50.000}{2}=75.000 \)

\( E(w)=$191.666 \)

Yo creería que hasta aquí está bien, pero el problema es que; si me piden cuál es la probabilidad de que haya ganancias (w>0??) no sabría que hacer, les agradezco su ayuda.

[HernanV]

Tendrías que encontrar la distribución de \( W = X+Y+Z \).

Para ello, si dispones de la función de probabilidad puntual (o de densidad en el caso continuo) conjunta de \( (X,Y,Z) \), podes razonar como se sigue.

La función buscada es (caso discreto) \( \displaystyle \mathbb{P}(W = w) = \mathbb{P}(X+Y+Z = w) = \mathbb{P}(X = w-Y-Z) = P_{X}(w-X-Z)  \)\( \displaystyle= \sum_{\forall y}{\sum_{\forall z}{P_{XYZ}(w-y-z, y, z)}} \). Para el caso continuo, se reemplazan las sumatorias por integrales. Si las variables son independientes, el cálculo se simplifica.