Hola.
He de demostrar la continuidad de la probabilidad. Me gustaría saber si lo tengo bien hecho.
Lo pongo en spoiler porque no son muy cortas y creo que quedará así más ordenado
Sea \( \{A_n\}_{n\geq1} \) una sucesión de conjuntos de \( \Omega \). Entonces \( \exists \lim A_n \)
(a) Si \( \{A_n\}\uparrow \),\( \lim A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \)
(b) Si\( \{A_n\}\downarrow \), \( \lim A_n=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \)
Demostración de a
Por definición, \( \liminf A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\displaystyle\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m \)
\( \left(\displaystyle\bigcap_{m=1}^{\infty} A_m\right) \displaystyle\bigcup\left(\displaystyle\bigcap_{m=2}^{\infty} A_m\right)
\displaystyle\bigcup...=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$, puesto que al ser $\{A_n\}\uparrow$, $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3,...\subseteq A_n \)
Luego \( \liminf A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \)
Por definición, \( \limsup A_n=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\displaystyle\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m \)
\( \left(\displaystyle\bigcup_{m=1}^{\infty} A_m\right) \displaystyle\bigcap\left(\displaystyle\bigcup_{m=2}^{\infty} A_m\right)
\displaystyle\bigcap...=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$, puesto que al ser $\{A_n\}\uparrow$, $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3,...\subseteq A_n \)
Luego \( \limsup A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \)
Demostración de b
Por definición, \( \liminf A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\displaystyle\bigcap_{m=n}^{\infty} A_m \)
\( \left(\displaystyle\bigcap_{m=1}^{\infty} A_m\right) \displaystyle\bigcup\left(\displaystyle\bigcap_{m=2}^{\infty} A_m\right)
\displaystyle\bigcup...=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n$, puesto que al ser $\{A_n\}\downarrow$, $A_1\supseteq A_2\supseteq A_3,...\supseteq A_n \)
Luego \( \liminf A_n=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \) Por
definición, \( \limsup A_n=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\displaystyle\bigcup_{m=n}^{\infty} A_m \)
\( \left(\displaystyle\bigcup_{m=1}^{\infty} A_m\right) \displaystyle\bigcap\left(\displaystyle\bigcup_{m=2}^{\infty} A_m\right)
\displaystyle\bigcap...=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \), puesto que al ser \( \{A_n\}\downarrow, \) \( A_1\supseteq A_2\supseteq A_3,...\supseteq A_n \)
Luego \( \limsup A_n=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \)
Teorema (continuidad de P)
Sea \( (\Omega, S,P) \) un espacio de probabilidad. Sea \( \{A_n\}_{n\geq 1} \), \( A_n \in S \), y monótona.
Entonces se verifica que \( \lim P(A_n)=P(\lim A_n) \)
Demostración para sucesiones crecientes
Como \( \{A_n\} \)es monónota creciente, por lo que acabamos de probar, \( \lim A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \)
Construimos \( \{B_n\}_{n\geq 1} \) con \( B_n \in S \), \( B_i \cap B_j=\emptyset, i \not =j \)
\( B_1=A_1, B_2=A_2/A_1, B_3=A_3/A_2, ..., B_n=A_n /A_{n-1}. \)
Luego\( \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}
B_n \)
Utilizamos el axioma 3 de Kolmogorov.
\(
P \left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right)=P \left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n\right)=
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} P(B_n)= \lim_{m\rightarrow \infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{m} P(B_n)=P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)+...+P(B_m)=P(A_1)+P(A_2/A_1)+
P(A_3/A_2)+..+P(A_m/A_{m-1})=P(A_1)+(P(A_2)-P(A_1))+(P(A_3)-P(A_2))+...+(P(A_m)-P(A_{m-1}))=P(A_m) \)
Luego\( \lim P(A_n)=P(\lim A_n) \), que era lo que queríamos probar.
No sé si me falta poner algún límite por algún lado, es una de mis dudas
Demostración para sucesiones decrecientes
Consideramos\( \{A_n\}\downarrow \), luego\( \{A_n^c\}\uparrow \)
Sabemos que\( P(\lim A_n^c)=\lim P(A_n^c) \), puesto que lo acabamos de probar para sucesiones crecientes
Al ser \( \{A_n^c\}\uparrow, \) \( \lim A_n^c=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n }^c \)
Por tanto, sustituyendo tenemos que \( P\left(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n^c }\right)=\lim P(A_n^c) \)
Por las leyes de De Morgan, se tiene que \( P\left(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{A_n }\right)^c=\lim P(A_n^c) \)
Por la propiedad 3 de Kolmogorov, \( 1-P\left(\displaystyle\bigcap_{n=2}^{\infty}{A_n }\right)=1-\lim P(A_n) \)
Simplificando, \( \left( P\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}{A_n }\right)=\lim P(A_n) \)
Por lo que \( P(\lim A_n)=\lim P(A_n) \), que era lo que queríamos probar
Saludos y muchas gracias
