[Gaussa]

Hola.

En mis apuntes, cuando explica la estructura del espacio de sucesos, dice "si el espacio muestral es finito, todo álgebra definido sobre \( \Omega \) es \( \sigma \)-álgebra". Mi pregunta es, ¿qué ocurre cuando es infinito, no se cumple? Si veo lo que me quiere decir, pero no por qué tiene que ser finito el espacio muestral.

Me gustaría saber si tengo bien demostrada esta propiedad derivada de los axiomas de Kolmogorov. Es sencilla, es por inducción, pero quiero asegurarme.

\(  P\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{k}{A_i}\right)\leq\displaystyle\sum_{i=1}^{k}P(A_i) \) , con \( A_i \in S \)

Tomamos \( k=2 \)
\( P(A_1 \cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1 \cap A_2)\leq P(A_1)+P(A_2) \) (propiedad que ya he demostrado)


Supongamos que se cumple que \( P\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{k}{A_i}\right)\leq\displaystyle\sum_{i=1}^{k}P(A_i) \), con\(  A_i \in S \). Entonces

\( P\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{k+1}{A_i}\right)=P\left(\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{k}{A_i}\right)\cup A_{i+1}\right)\leq^{*}P\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{k}{A_i}\right)+P( A_{i+1})\leq^{**}\displaystyle\sum_{i=1}^{k}P(A_i)+P(A_{i+1})=\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}P(A_i) \)

donde es \( ^{(*)} \) caso \( k=2 \) y \( ^{(**)} \) es la hipótesis de inducción

También tengo dudas con estas dos propiedades.

\( P(\emptyset)=0 \). Esta quiero demostrarla con el axioma 3 (sé que sale directo con\(  P(A^c)=1-P(A) \), para cada \( A \in S \))

No sé si la tengo bien expresada así

\( \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n}=\emptyset \), con\(  A_i \cap A_ j=\emptyset \)

Por tanto, usando el axioma 3 tenemos que

\( P(\emptyset)=P\left( \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n}\right)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{P(A_n)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{P(\emptyset)}=0 \)



 Y esta, que tengo que demostrarla, y sólo puedo usar los axiomas y la propiedad anterior. Sé que la probabilidad infinita y la suma infinita se pueden poner como finitas, y sumándole infinitas veces el vacío. Mi problema está en expresarlo. Sé demostrarlo, pero tengo dificultades para escribirlo bien.

\( P\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{k}{A_i}\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}P(A_i)$ , con $A_i \in S$ tal que $A_i \cap A_j = \emptyset $ si $i \not= j \)

Saludos y muchas gracias

[Carlos Ivorra]

En mis apuntes, cuando explica la estructura del espacio de sucesos, dice "si el espacio muestral es finito, todo álgebra definido sobre \( \Omega \) es \( \sigma \)-álgebra". Mi pregunta es, ¿qué ocurre cuando es infinito, no se cumple? Si veo lo que me quiere decir, pero no por qué tiene que ser finito el espacio muestral.

Si el espacio muestral es infinito, puedes definir sigma-álgebras en él, naturalmente, pero no toda álgebra es sigma-álgebra (por cierto, fíjate que se dice "el álgebra", "un álgebra", pero "toda álgebra, esta álgebra, etc.)

Por ejemplo, considera como espacio de sucesos el conjunto de los números naturales \( X = \mathbb{N} \) y considera el álgebra formada por los subconjuntos que, o bien son finitos, o bien tienen complementario finito. Es fácil ver que es un álgebra, pero no una sigma-álgebra, porque una unión numerable de conjuntos finitos, por ejemplo \( \{0\}\cup\{2\}\cup\{4\}\cup\{6\}\cup \cdots \), puede no ser finita ni tener complementario finito.

Me gustaría saber si tengo bien demostrada esta propiedad derivada de los axiomas de Kolmogorov. Es sencilla, es por inducción, pero quiero asegurarme.

Yo la veo bien.

También tengo dudas con estas dos propiedades.

\( P(\emptyset)=0 \). Esta quiero demostrarla con el axioma 3 (sé que sale directo con\(  P(A^c)=1-P(A) \), para cada \( A \in S \))

No sé si la tengo bien expresada así

\( \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n}=\emptyset \), con\(  A_i \cap A_ j=\emptyset \)

Por tanto, usando el axioma 3 tenemos que

\( P(\emptyset)=P\left( \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n}\right)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{P(A_n)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{P(\emptyset)}=0 \)

Queda un poco confusa, porque no dices quiénes son los \( A_n \), aunque de lo que dices se deduce que son vacíos. Quedaría más claro si dijeras:

Llamamos \( A_n=\emptyset \), para todo n (con lo que, tal y como señalas, los conjuntos son disjuntos dos a dos). Entonces:

\( P(\emptyset)=P\left( \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n}\right)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{P(A_n)}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{P(\emptyset)} \)

pero no puedes poner al final \( =0 \), porque eso es justo lo que quieres demostrar. Ahora puedes argumentar de varias formas. Una es decir que la serie tiene que ser convergente, pero si fuera \( P(\emptyset)>0 \) sería divergente, porque el término general (constante) no tendería a cero. Otra opción sería separar un sumando:

\( P(\emptyset)=P(\emptyset) + \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{P(\emptyset)}\Rightarrow \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{P(\emptyset)}=0 \),
luego todos los sumandos tienen que ser cero, o la suma sería positiva.

Y esta, que tengo que demostrarla, y sólo puedo usar los axiomas y la propiedad anterior. Sé que la probabilidad infinita y la suma infinita se pueden poner como finitas, y sumándole infinitas veces el vacío. Mi problema está en expresarlo. Sé demostrarlo, pero tengo dificultades para escribirlo bien.

\( P\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{k}{A_i}\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}P(A_i)$ , con $A_i \in S$ tal que $A_i \cap A_j = \emptyset $ si $i \not= j \)

Define \( A_n = \emptyset \) para \( n>k \). Entonces \( \bigcup\limits_{i=1}^kA_i = \bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \) y sigue siendo cierto que los conjuntos son disjuntos dos a dos (razónalo). Luego aplica el axioma 3.

[Gaussa]

Hola, Carlos. Muchísimas gracias.

Y esta, que tengo que demostrarla, y sólo puedo usar los axiomas y la propiedad anterior. Sé que la probabilidad infinita y la suma infinita se pueden poner como finitas, y sumándole infinitas veces el vacío. Mi problema está en expresarlo. Sé demostrarlo, pero tengo dificultades para escribirlo bien.

\( P\left(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{k}{A_i}\right)=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}P(A_i)$ , con $A_i \in S$ tal que $A_i \cap A_j = \emptyset $ si $i \not= j \)

Define \( A_n = \emptyset \) para \( n>k \). Entonces \( \bigcup\limits_{i=1}^kA_i = \bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \) y sigue siendo cierto que los conjuntos son disjuntos dos a dos (razónalo). Luego aplica el axioma 3.

Veo que los conjuntos son disjuntos dos a dos, pero ¿cómo razonarlo? ¿vale decirlo directamente?

¿Así vale?

 \( P\left(\bigcup\limits_{i=1}^kA_i \right)= P\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \right)=\sum\limits_{i=1}^k A_i +\sum\limits_{n=k+1}^\infty A_n =\sum\limits_{i=1}^k A_i  \), por la propiedad anterior, ya que \( \sum\limits_{n=k+1}^\infty A_n=\sum\limits_{n=k+1}^\infty \emptyset=0 \)

Saludos

[Carlos Ivorra]

Veo que los conjuntos son disjuntos dos a dos, pero ¿cómo razonarlo? ¿vale decirlo directamente?

Esa pregunta siempre es relativa, pero supongo que sí, vale decirlo directamente.

¿Así vale?

 \( P\left(\bigcup\limits_{i=1}^kA_i \right)= P\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \right)=\sum\limits_{i=1}^k A_i +\sum\limits_{n=k+1}^\infty A_n =\sum\limits_{i=1}^k A_i  \), por la propiedad anterior, ya que \( \sum\limits_{n=k+1}^\infty A_n=\sum\limits_{n=k+1}^\infty \emptyset=0 \)

Has perdido varias P's dentro de los sumatorios. Estoy ya casi es estética, pero yo, como tercer término, intercalaría

\( \sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i) \), para luego separar la suma en dos, como haces (pero sin dejarte las Ps).

[Gaussa]

Muchas gracias, Carlos

Veo que los conjuntos son disjuntos dos a dos, pero ¿cómo razonarlo? ¿vale decirlo directamente?

Esa pregunta siempre es relativa, pero supongo que sí, vale decirlo directamente.

¿Así vale?

 \( P\left(\bigcup\limits_{i=1}^kA_i \right)= P\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \right)=\sum\limits_{i=1}^k A_i +\sum\limits_{n=k+1}^\infty A_n =\sum\limits_{i=1}^k A_i  \), por la propiedad anterior, ya que \( \sum\limits_{n=k+1}^\infty A_n=\sum\limits_{n=k+1}^\infty \emptyset=0 \)

Has perdido varias P's dentro de los sumatorios. Estoy ya casi es estética, pero yo, como tercer término, intercalaría

\( \sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i) \), para luego separar la suma en dos, como haces (pero sin dejarte las Ps).

Copiando y pegando no me di cuenta de lo de las P´s.

Voy a escribirlo otra vez para asegurarme.

 \( P\left(\bigcup\limits_{i=1}^kA_i \right)= P\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \right)= \sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i) =\sum\limits_{i=1}^k P(A_i) +\sum\limits_{n=k+1}^\infty P(A_n) =\sum\limits_{i=1}^k P(A_i)  \), por la propiedad anterior, ya que \( \sum\limits_{n=k+1}^\infty P(A_n)=\sum\limits_{n=k+1}^\infty P(\emptyset)=0 \).

Repasando de nuevo las estructuras de sigma-álgebra me han entrado dudas.

En mis apuntes, cuando explica la estructura del espacio de sucesos, dice "si el espacio muestral es finito, todo álgebra definido sobre \( \Omega \) es \( \sigma \)-álgebra". Mi pregunta es, ¿qué ocurre cuando es infinito, no se cumple? Si veo lo que me quiere decir, pero no por qué tiene que ser finito el espacio muestral.

Si el espacio muestral es infinito, puedes definir sigma-álgebras en él, naturalmente, pero no toda álgebra es sigma-álgebra (por cierto, fíjate que se dice "el álgebra", "un álgebra", pero "toda álgebra, esta álgebra, etc.)

Por ejemplo, considera como espacio de sucesos el conjunto de los números naturales \( X = \mathbb{N} \) y considera el álgebra formada por los subconjuntos que, o bien son finitos, o bien tienen complementario finito. Es fácil ver que es un álgebra, pero no una sigma-álgebra, porque una unión numerable de conjuntos finitos, por ejemplo \( \{0\}\cup\{2\}\cup\{4\}\cup\{6\}\cup \cdots \), puede no ser finita ni tener complementario finito.

Sea \( S \) una familia de subconjuntos de \( \Omega \). Diremos que \( S \) tiene estructura de álgebra sobre \( \Omega \) si verifica:

a) \( \Omega \in S \)

b) Dados \( A,B \in S\Rightarrow A\cup B \in S \)

c) Dado \( A \in S\Rightarrow A^c \in S \)

Sea \( S  \)una familia de subconjuntos de \( \Omega \). Diremos que  tiene estructura de sigma-álgebra sobre \( \Omega \) si verifica:

a) \( \Omega \in S \)

b) \( A_n \in S, n\geq1\Rightarrow \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}{A_n }\in S \)

c) Dado \( A \in S\Rightarrow A^c \in S \)

Una de otra se diferencian entonces  por b).

Tomo \( S=\mathbb{N} \), como en el ejemplo, y cojo los subconjuntos formados por los números pares.

El que la unión \( \{0\}\cup\{2\}\cup\{4\}\cup\{6\}\cup \cdots \) no sea finita, ¿es lo que hace que no sea una sigma-álgebra? Es decir, ¿eso es lo que quiere decir b)?

Es que esa unión sí que está en \( S \) 

Muchas gracias

[Carlos Ivorra]

Hola.

Respecto a la primera parte, la prueba está bien ahora.

Respecto a lo de las sigma-álgebras, llamé \( X \) sin darme cuenta a lo que tú llamas \( \Omega \), es decir, no se trata de tomar \( S = \mathbb{N} \) sino \( \Omega = \mathbb{N} \) y tomar como álgebra \( S \) a la familia de los subconjuntos de \( \Omega \) que, o bien son finitos, o bien tienen complementario finito.

Es este conjunto \( S \) (no \( \Omega = \mathbb{N} \)) el que te digo que es un álgebra que no es sigma-álgebra. La prueba de lo segundo es que puedes tomar \( A_n = \{2n\}\in S \) (porque todos los conjuntos son finitos), mientras que \( \bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n \) es el conjunto de los números pares, que ni es finito ni tiene complementario finito, luego no es un elemento del álgebra que hemos definido.

Si no está claro, dilo.

[Gaussa]

Muchas gracias, ya lo tengo claro.

Saludos