[Petra12]

Hola,

¿Alguien podría ayudarme a demostrar alguno de los siguientes lemas? He demostrado el primero pero creo que me falta algo.

Lema1:

Si x:\( V\longrightarrow{U}\subseteq{S} \) es continua y V es conexo por caminos, dos puntos cualesquiera de U pueden unirse por una curva.

Demostración:

V es conexo por caminos y como x es biyectivo, entonces V tambien será conexo por caminos. Por lo tanto, dos puntos cualesquiera de V pueden unirse por una curva.


Lema2:

Si x\( :B(c,r)\longrightarrow{U}\subseteq{S} \) es una parametrización de U, dos puntos cualquiera de U pueden unirse mediante una curva rectificable (con longitud finita).

Lema3:

Si S es una superficie regular, existe un cubrimiento de S por abiertos que son imágenes mediante parametrizaciones definidas en bolas abiertas.

Lema4:

Sea S una superficie regular conexa. Dos puntos cualesquiera de S pueden unirse por una curva rectificable.

Definición:

La distancia interna entre \( p \) y \( q \) de \( S \) es el número real
\( d_i(p,q)=inf\{long( \alpha_{p,q}) \) donde \(  \alpha_{p,q} \) es una curva rectificable uniendo \( p \) y \( q\} \)

Proposición:

\( d_i \) es una métrica.




Muchísimas gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Lema 1. La demostración que pones es correcta. De hecho si sabemos que una función continua lleva conexos por caminos en conexos por caminos, el lema es trivial, inmediato. En otro caso basta tener en cuenta que dados \( x(p),x(q) \) y una curva \( \alpha \) en \( V \) uniendo \( p \) y \( q \) la composición \( x\circ \alpha \) es una curva que une \( x(p),x(q). \)

 Lema 2. La idea es exactamente la misma que en el lema anterior. Para concretar ciertos matices, sería bueno aclarar sin embargo si estás hablando de parametrizaciones diferenciables.

 Lema 3. Depende de como te hallan definido superficie regular. Si es como la superficie dada por una ecuación implícita regular \( F(x,y,z)=0 \), basta usar el teorema de la función implícita en un entorno de cada punto de la imagen.

 Lema 4. Puedes utilizar que todo espacio topológico localmente conexo por caminos y conexo es conexo por caminos. Una vez que sepas que es conexo por caminos, dados dos puntos los puedes unir por una curva continua. Esta por ser compacta puede ser recubierta por un número finito de parametrizaciones y cada uno los tramos de la curva en esas parametrizaciones, puede ser (por el Lema 2) recorrido con una curva rectificable. Eso te asegura que hay una curva rectificable uniendo cada par de puntos.

 Proposición. Inténtalo. Tienes que comprobar las propiedades de una distancia.

\(  d_i(p,q)\geq 0 \)
\(  d_i(p,q)=d_i(q,p) \)
\(  d_i(p,q)=0\iff p=q \)
\( d_i(p,q)\leq d_i(p,r)+d_i(r,q) \)

 Te ayudo con la última, la desigualdad triangular. Observa que por definición de esa distancia, dado \epsilon>0 existen curvas  rectificables \( \alpha_{p,r},\beta_{r,q} \) tales que:

\(  d_i(p,r)\leq long(\alpha_{p,r})\leq d_i(p,r)+\epsilon \)
\(  d_i(r,q)\leq long(\alpha_{r,q})\leq d_i(r,q)+\epsilon \)

 De ahí y tieniendo en cuenta que la curva unión de ambas es una curva rectificable que une \( p,q \) se deduce directamente que:

\(  d_i(p,q)\leq d_i(p,r)+\epsilon+d_i(r,q)+\epsilon \)

 Como esto es cierto para cualquier \( \epsilon>0 \), de ahí se deduce la desigualdad deseada.

Saludos.