[Gaussa]

Hola.

Me mandaron demostrar las propiedades derivadas de los axiomas de Kolmogorov para la probabilidad condicionada, y tengo dificultad en ésta:

\( P(A_1\cup{A_2/B})=P(A_1/B)+P(A_2/B)-P(A_1\cap{A_2/B)} \), \( A_1, A_2\in{S} \)

Llevo un rato intentándolo, pero no lo consigo. Y me parece extraño lo que hay que demostrar, ¿no será una errata y tendré que demostrar que  \( P(A_1/B\cup{A_2/B})=P(A_1/B)+P(A_2/B)-P(A_1/B\cap{A_2/B)} \), \( A_1, A_2\in{S} \)?

Saludos y muchas gracias

[pierrot]

Me mandaron demostrar las propiedades derivadas de los axiomas de Kolmogorov para la probabilidad condicionada, y tengo dificultad en ésta:

\( P(A_1\cup{A_2/B})=P(A_1/B)+P(A_2/B)-P(A_1\cap{A_2/B)} \), \( A_1, A_2\in{S} \)

Llevo un rato intentándolo, pero no lo consigo. Y me parece extraño lo que hay que demostrar, ¿no será una errata y tendré que demostrar que  \( P(A_1/B\cup{A_2/B})=P(A_1/B)+P(A_2/B)-P(A_1/B\cap{A_2/B)} \), \( A_1, A_2\in{S} \)?

Hola Gaussa

No, yo veo que está bien el enunciado.

[Gaussa]

Hola PabloN.

Lo he seguido intentando y no puedo demostrarlo. ¿Podrías darme alguna pista?

Esto no es cierto, ¿no? \( P(A_1\cup{A_2/B})=P(A_1)+P(A_2/B)-P(A_1\cap{A_2/B}) \)

No debe serlo, ya que es una de las cosas que he intentado para demostrarlo y llego a algo que no es (a que \( P(A_1)=P(A_1/B) \), pero esto ocurre sólo si son independientes.

Pero pensé que eso si valía.

Saludos y muchas gracias

[pierrot]

Esto no es cierto, ¿no? \( P(A_1\cup{A_2/B})=P(A_1)+P(A_2/B)-P(A_1\cap{A_2/B}) \)

No, no es cierto.

Hola PabloN.

Lo he seguido intentando y no puedo demostrarlo. ¿Podrías darme alguna pista?

Si. Por definición:

\( P(A_1\cup A_2|B)=\displaystyle \frac{P\big((A_1\cup A_2)\cap B\big)}{P(B)} \)

Aplicando distributividad:

\( (A_1\cup A_2)\cap B=\underbrace{(A_1\cap B)}_{A'}\cup \underbrace{(A_2\cap B)}_{B'} \).

Ahora usa la fórmula \( P(A'\cup B')=P(A')+P(B')-P(A'\cap B') \). Nota que \( A'\cap B'=(A_1\cap B)\cap (A_2\cap B)=A_1\cap B\cap A_2\cap B=A_1\cap A_2\cap B=(A_1\cap A_2)\cap B \).

Saludos

[Gaussa]

¡Claro!

Ahora entiendo por qué no me salía. Interpretaba \( P(A_1\cup{A_2/B}) \) como \( A_1 \)  y la unión de \( A_2 \), que estaba condicionado a \( B \). No sabía que se refería a \( P((A_1\cup{A_2)/B}) \).

Por lo que lo que escribía aquí era una barbaridad \( P(A_1\cup{A_2/B})=P(A_1)+P(A_2/B)-P(A_1\cap{A_2/B}) \), no tenía ningún sentido.

¡Muchas gracias, PabloN!

Saludos

[pierrot]

¡Muchas gracias, PabloN!

De nada.

Ahora entiendo por qué no me salía. Interpretaba \( P(A_1\cup{A_2/B}) \) como \( A_1 \)  y la unión de \( A_2 \), que estaba condicionado a \( B \). No sabía que se refería a \( P((A_1\cup{A_2)/B}) \).

Ah, claro. Ahora entiendo tu duda. Por convención no se ponen los paréntesis. En general la notación \( | \) designa a todo lo que está a la izquierda condicionado a todo lo que está a la derecha. En ese sentido, es similiar a la barra vertical que se usa en divisibilidad. Por ejemplo, para decir que \( 2 \) divide al número \( 3+5 \) escribimos \( 2|3+5 \) y no \( 2|(3+5) \).

Saludos