[Gaussa]

Hola.

Me gustaría saber si tengo bien hecho el siguiente ejercicio.

Colocamos \( n \) bolas en \( n \) cajas. ¿Cuál es la probabilidad de que cada caja esté ocupada?

E.A="Colocando \( n \) bolas en \( n \) cajas, calcular la probabilidad de que cada caja esté ocupada"

\( \Omega=\{a_1,a_2,...,a_n: a_i=1,2,...,n;i=1,2,...,n\} \)

\( |\Omega|=VR_{n,n}=n^n \)

A="Una caja está ocupada"

\( A^c \)="La caja no está ocupada, es decir, no tiene ninguna bola"

\( A^c=\{(a_1,a_2,...,a_{n-1}: a_i=1,2,...,n;i=1,2,..,n\} \)

\( P(A)=1-P(A^c)=1-(\displaystyle\frac{n-1}{n})^n=1-(1-\displaystyle\frac{1}{n})^n \)

Si no lo tengo bien, me gustaría que me indicaran la parte en la que fallo, para intentar arreglarlo yo. Tampoco sé si tengo bien expresados los conjuntos.

También tengo el siguiente problema. Me ha parecido sencillo al intentar resolverlo, por lo que me gustaría saber si se hace así.

Lanzamos un dado. Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 2, dado que se ha obtenido un múltiplo de 3.

A="Obtener un múltiplo de 2"

B="Obtener un múltiplo de 3"

\( P(A/B)=\displaystyle\frac{P(A\cap{B})}{P(B)}=\displaystyle\frac{1/6}{2/6}=\displaystyle\frac{1}{2} \)

Saludos y muchas gracias

[pierrot]

Hola Gaussa

Colocamos \( n \) bolas en \( n \) cajas. ¿Cuál es la probabilidad de que cada caja esté ocupada?

Yo creo que la letra del ejercicio es un poco ambigua, se puede interpretar de distintas maneras. Por ejemplo, bajo el supuesto de que las cajas son distinguibles y que las bolas son todas iguales (lo cual es algo razonable), el espacio muestral sería:

\( \Omega=\{(a_1,a_2,\dots,a_n):\;\sum_{i=1}^na_i=n,\;a_i\geq 0,\;\forall i=1,\dots, n\} \)

Así, el suceso \( \text{``la caja 1 tiene $n$ bolas''}=\{(n,0,\dots, 0)\} \). En general, el cardinal de \( \Omega \) es la cantidad de soluciones enteras de la ecuación:

\( \begin{equation} a_1+a_2+\cdots+a_n=n \end{equation} \)

donde \( a_i\geq 0 \). Entonces, como la pregunta es "¿cuál es la probabilidad de que cada caja esté ocupada?", puede interpretarse que lo que nos piden es la probabilidad de que todas las cajas estén ocupadas. La única manera de que todas estén ocupadas es que cada caja tenga exactamente una bola. Y eso sería:

\( \displaystyle P(\{(1,1,\dots,1)\})=\frac{1}{\text{cantidad total de soluciones de $(1)$}}=\frac{1}{|\Omega|} \)

También podría haberse interpretado que la pregunta se refería a que, fijada una caja de las \( n \), por ejemplo, la caja \( j \), calcular la probabilidad de que esté ocupada. En dicho caso habría que contar todas las soluciones que cumplen \( a_j\geq 1 \) y dividirlo entre el total (aquello de casos favorables sobre casos totales).

También tengo el siguiente problema. Me ha parecido sencillo al intentar resolverlo, por lo que me gustaría saber si se hace así.

Lanzamos un dado. Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 2, dado que se ha obtenido un múltiplo de 3.

A="Obtener un múltiplo de 2"

B="Obtener un múltiplo de 3"

\( P(A/B)=\displaystyle\frac{P(A\cap{B})}{P(B)}=\displaystyle\frac{1/6}{2/6}=\displaystyle\frac{1}{2} \)

Saludos y muchas gracias

Está bien resuelto . Observa que si tiraste un dado y te salió un múltiplo de 3, no hay otra alternativa: o sacaste 3, o sacaste 6. La probabilidad ahora de obtener un múltiplo de 2 es la probabilidad de obtener 6, y eso es 1/2 ya que hay sólo dos posibilidades.

Saludos

[Gaussa]

¡Muchísimas gracias, PabloN! Ya lo tengo claro

Saludos