[lcgs]

Hola a todos, estoy realizando los ejercicios del respectivo capitulo del libro de cálculo de James Stewart y hay uno que me ha quitado el sueño y no por lo difícil sino porque creo que tengo la respuesta y he tratado de graficarla pero no he obtenido un resultado satisfactorio.... el enunciado dice así:

En la figura se muestra un punto P, en la parábola \(  y=x^2  \), y el punto Q, donde la mediatriz de \(  \left | OP \right |  \), interseca al eje \( \ Y  \). Conforme P se aproxima al origen, a lo largo de la parábola, ¿qué sucede con Q? ¿Tiene una posición límite?, si es así, encuéntrela..

Bien, como tal respuesta me la imagino y yo pienso que mientras el punto P se acerca al origen, el punto Q se aleja y tiende a infinito.. Como dije antes he tratado de graficarla pero no he podido hacerla bien..
Entonces cómo podría yo demostrar que el punto Q tiene una posición límite, y si es que existe, como encontrarla, o como mostrarla mediante una expresión matemática...

[Luis Fuentes]

Hola

 En el siguiente gráfico tienes representado el problema (mueve el punto \( P \) a tu gusto):



 Como ves falla la intuición. 

 Los pasos para resolve el ejericio son:

 1) Considera un punto arbitario de la parábola \( P=(t,t^2). \)

 2) Halla el punto medio de \( O=(0,0) \) y \( P \) como:

\(  M=\dfrac{O+P}{2} \)

 3) Calcula la ecuación de la mediatriz de \( OP \), es decir, la recta que pasa por \( M \) y tiene por vector normal \( OP \). Tal recta es de la forma:

 \( tx+t^2y+c=0 \)

 Para hallar \( c \) susituye las coordenadas de \( M \) en la ecuación.

 4) Interseca la recta anterior con el eje \( OY \), haciendo \( x=0 \). Tendrás las coordenadas de \( Q=(0,g(t)) \) en función de \( t \).

 5) Finalmente calcula:

\(  \displaystyle\lim_{t\to 0}{}g(t) \)

Saludos.

[lcgs]

Amigo sabes que no logro llegar a esa deducción de formula de la mediatriz. Como la planteas es mi interrogante. yo recuerdo una forma de como plantear una mediatriz pero no he podido llegar a esa expresión matemática.. concretamente es el paso 3.

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo que uso es:

 i) Dada una recta de ecuación implícita \( ax+by+c=0 \), su vector normal, es decir, perpendicular a la recta es: \( (a,b). \)

ii) Recíprocamente dado un vector \( (a,b) \) cualquier recta perpendicular a él tiene una ecuación que puede escribirse como:

 \( ax+by+c=0 \)

iii) Ahora si tenemos dos puntos \( A=(x_0,y_0),B=(x_1,y_1) \) la mediatriz es una recta perpendicular al vector que los une. Por tanto y teniendo en cuenta (2) su ecuación es de la forma:

\(  (x_1-x_0)x+(y_1-y_0)y+c=0 \)

iv) Finalmente para hallar \( c \) usamos que pasa por el punto medio, es decir, en la ecuació anterior sustituimos:

\( x=\dfrac{x_1+x_0}{2},\quad y=\dfrac{y_1+y_0}{2} \)

Saludos.