[Michel]

Sea ABCD un trapecio cuya base mayor es AB.
Sea E el punto de intersección de sus diagonales.
Por E se traza una paralela a las bases, que corta a los lados no paralelos del trapecio en dos puntos que determinan un segmento PQ.
Probar que la medida de este segmento es media armónica de las medidas de las bases del trapecio.

[Michel]

Demostremos que E es el punto medio de PQ.
De la semejanza de los triángulos BDQ  y BEQ y de los triángulos ADC y APE:

\( \displaystyle\frac{DC}{EQ}=\displaystyle\frac{CB}{QB},  \displaystyle\frac{DC}{PE}=\displaystyle\frac{DA}{PA} \)

Dividiendo miembro a miembro: \( \displaystyle\frac{PE}{EQ}=\displaystyle\frac{CB.PA}{QB.DA} \)    (1)

Por el teorema de Thales: \( \displaystyle\frac{CB}{DA}=\displaystyle\frac{QB}{PA}\Rightarrow{CB.PA=QB.DA} \).
Sustituyendo en (1): \( \displaystyle\frac{PE}{EQ}=1  \Rightarrow{PE=EQ} \).
Hacemos PQ=x, CD=b, AB=a.
De la semejanza de los triángulos BEQ y BDC:\( \displaystyle\frac{x}{2b}=\displaystyle\frac{QB}{CB} \)
y de la semejanza de los triángulos CEQ y CAB: \( \displaystyle\frac{x}{2a}=\displaystyle\frac{CQ}{CB} \)
Resulta  \( \displaystyle\frac{x}{2a}+\displaystyle\frac{x}{2b}=1   \Rightarrow{  \displaystyle\frac{1}{x}=\displaystyle\frac{1/a+1/b}{2} \)