[HernanV]

Hola, ¿qué tal?.

Tengo una duda con una demostración. Necesito mostrar que si \( \displaystyle X \sim \text{Ex}(\lambda) \), entonces \( \displaystyle [X] + 1 \sim \text{Ge}(p) \) (lo último es referido a la parte entera de \( X \)).

La verdad que no sé cómo demostrarlo, ¿alguien me podría orientar un poco por favor?.

Gracias!

Saludos .

[numbsoul]

Tenemos que \( P([X]+1=k)=P([X]=k-1) \).

Llamemos \( j=k-1 \).

Tenemos que \( [X]=j \) es equivalente a \( j\leq X<j+1 \),es decir,a \( k-1\leq X< k \).

[HernanV]

Y si \( \displaystyle X \sim \text{Ex}(\lambda) \) entonces \( \displaystyle \mathbb{P}(k-1\leq X< k) = F_{X}(k) - F_{X}(k-1) = 1-e^{-\lambda k} - 1 + e^{-\lambda (k-1)} = e^{-\lambda k}\left(e^{\lambda} -1\right) \).

Y hasta aquí llego, no entiendo cómo seguir la verdad. Desde ya, muchas gracias numbsoul.

[numbsoul]

Antes de la última expresión,tienes \( e^{-\lambda(k-1)}-e^{-\lambda k}=e^{-\lambda(k-1)}(1-e^{-\lambda}) \) (saqué factor común \( e^{-\lambda(k-1)} \))

Llamando \( p=1-e^{-\lambda} \),tenemos que lo anterior es igual a \( (1-p)^{k-1}p \).

[HernanV]

Jamás se me hubiera ocurrido! Nuevamente, muchas gracias .