[Michel]

Dado un cuadrilátero, si se trazan las circunferencias tangentes a tres lados consecutivos, los centros de las cuatro circunferencias que se obtienen forman un cuadrilátero inscriptible.

[csgutier]

Un camino.

Spoiler

1) Buscamos los centros de las circunferencias, que se obtienen a través de intersectar las bisectrices de los ángulos del cuadrilátero.

En la figura E, F, G y H son los centros.

2) Al dibujar la figura, veras que se puede formar un triángulo, con dos vértices del cuadrado y el centro de circunferencia más distante a esos dos vértices.

Ejemplo: triángulo AFD

3) Completa los ángulos sabiendo que: los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360º, las bisectrices dimidien esos ángulos.

4) Comprobaras que los ángulos opuestos del cuadrilátero formado por los centros, son suplementarios lo que es condición suficiente para que sea inscriptible.

[cerrar]

Adherida figura

[Michel]

Hola csgutier. Bienvenido al foro.

Creo que debes adjuntar la figura correspondiente, sin la que es muy complicado seguir el problema.

Piensa que hay muchos compañeros que están aprendiendo a hacer problemas de Geometría, por lo que hay que dar toda clase de facilidades, con una figura clara y una explicación igualmente clara.

Saludos.

[Michel]

Hola csgutier.
Haciendo uso de tu figura, yo explicaría un poco más el problema para mejor comprensión de los que lo lean.

Sea EFGH el cuadrilátero formado.

En el triángulo AEB:  A/2+B/2+E=180º

En el triángulo DGC:  D/2+C/2+G=180º

Sumando:  A/2+B/2+E+D/2+C/2+G=360º

Como A+B+C+D=360º , será  E+G=180º.

El cuadrilátero EFGH tiene dos ángulos opuestos suplementarios,  por lo que es inscriptible.

Saludos