[deltha]

"Una moneda es lanzada 5 veces", definir un espacio muestral para "Sólo el número de caras es de interés".

Tenemos: \( S=\{0,1,2,3,4,5,6\} \) con \( |S|=6 \), cierto?

Calcular la probabilidad de que se obtenga al menos 1 cara. ¿Cómo calcularla?

[HernanV]

El espacio muestral está mal, aunque creo que es un error de notación tuyo porque escribiste que su cardinal es 6 (y eso está bien) pero los elementos son del 0 al 6 (o sea, 7).

El espacio muestral que definiste es el que corresponde al experimento "cantidad de caras en 5 lanzadas de una moneda". En números sería \( \displaystyle S=\{0,1,2,3,4,5\} \).

Para el cálculo de la probabilidad, te conviene definir una variable aleatoria \( \displaystyle X \) que cuenta la cantidad de caras en 5 intentos. A partir de esto podes observar que (1) los eventos son independientes: que salga cara o ceca en un tiro no dice nada sobre que saldrá en el próximo; (2) la probabilidad de cara es constante \( \displaystyle p = 0,5 \) y (3) sólo hay posibilidad de éxito o fracaso (es cara o no). Es un claro experimento Binomial y, por ende, \( \displaystyle X \sim \text{Bi}(5; \, 0,5) \).

Te piden calcular \( \displaystyle \mathbb{P}(X \ge 1) = 1 - \mathbb{P}(X \le 1) \).

[deltha]

Hola Hernán aún no hemos visto variables aleatorias, sino definición a priori, a posteriori y definición axiomática para el cálculo de probabilidades.

[HernanV]

Bueno, entonces deducí la fórmula de la Binomial.

Tenes que la cantidad de ensayos es \( n = 5 \) y, considerando que es una moneda "buenita", la probabilidad de cara (éxito) es constante e igual a \( p=0,5 \). La probabilidad de ceca es lo mismo.

Llamaremos \( A_{i} \) al evento "sale cara en el \( i \)-ésimo lanzamiento".

La probabilidad de realización de un evento \( B_{k} \) en el que ocurren exactamente \( k \) eventos \( A_{i} \) (que son independientes) es \( \displaystyle \mathbb{P}(B_{k}) = \binom{5}{k} p^{k}(1-p)^{5-k} \). Esta es la función de probabilidad puntual.

Esto es, \( p^{k} \) es la probabilidad de éxito en los \( k \) intentos y \( (1-p)^{5-k} \) es la probabilidad de fracaso (en este caso no cara) en los \( 5-k \) intentos restantes. El número \( \displaystyle\binom{5}{k} \) está debido a que, fijada una posibilidad de éxito, hay exactamente \( \displaystyle\binom{5}{k} \) formas de que ocurran las demás posibilidades.

Espero que se haya entendido.