[Luiggi]

Abel, Benjamín, Ciro, Demetrio, Ester y Fabiola tienen cuentas en internet. Algunos de ellos, pero no todos, son amigos internet entre sí, y ninguno de ellos tiene un amigo internet fuera fuera de este grupo. Cada uno de ellos tiene el mismo número de amigos internet. ¿De cuántas maneras diferentes puede pasar esto?

Cometí un error publicando ese problema en esta sección!... Por favor quién puede moverlo a la sección de combinatoria?

[Luis Fuentes]

Hola

Spoiler

En primer lugar nota que hay tantas configuraciones en que cada persona tiene \( n \) amigos como aquellas en que tienen \( 5-n \) amigos.

 Por tanto el número de configuraciones es:

\(  2\cdot (confg_1+confg_2) \)

 donde \( confg_n \) es el número de configuraciones son \( n \) amigos por persona.

 El número de configuraciones \( confg_1 \) corresponde a las formas de contar de cuantas formas podemos agrupar a los seis amigos en grupos de dos. Para el primer grupo tenemos \( \displaystyle\binom{6}{2} \) opciones; para el segundo \( \displaystyle\binom{4}{2};  \) para el tercero \( \displaystyle\binom{2}{2} \).

 Pero además no importa el orden de los grupos (es decir, no tiene sentido hablar de "primer, segundo, tercer grupo") por tanto dividimos por \( 3!. \)

\(  confg_1=\dfrac{\displaystyle\binom{6}{2}\displaystyle\binom{4}{2}\displaystyle\binom{2}{2}}{3!}=15 \).

 Para contar \( confg_2 \) tenemos en cuenta que una configuración donde cada persona tiene dos amigos puede ser de dos tipos:

 A - Los amigos quedan agrupados en dos tríos: 1-2, 2-3,3-1. 4-5,5-6,6-1.
 B - Cada persona es amigo de sus adyacentes: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-1.

 El número de configuraciones de tipo A, razonando como antes es:

\(  \dfrac{\displaystyle\binom{6}{3}\displaystyle\binom{3}{3}}{2!} \)

 El de tipo B, corresponde al número de formas de sentarse seis personas en una mesa circular, salvo reflexión especular de la mesa.

\(  \dfrac{5!}{2} \)

 Concluye...

[cerrar]

Saludos.