Hola
No estyo seguro de que sea un ejercicio adecuado para resolver por inclusión-exclusión. Antes de nada convendría que aclarases el enunciado.
Se me ocurren dos interpretaciones:
1) Palabras donde las tres vocales no estén consecutivas, es decir, excluimos MAAIRN pero no incluimos MAARIN
2) Palabras donde no hay dos vocaes consecutivas, es decir, excluimos los dos ejemplos anteriores.
En ninguno de los dos casos usaría inclusión-exclusión. En ambos casos contamos el número de palabras totales. Son permutaciones con repetición de 6 elementos de los cuáles dos son iguales entre si:
\( PR_{6;2,1,1,1,1}=\dfrac{6!}{2!}=360 \)
En cada caso restamos las que excluimos:
1) Contamos cuantas palabras hay con las tres vocales consecutivas. Para ello consideramos las tres vocales juntas como un bloque. Entonces contamos palabras con cuatro letras distintas (una "letra" es el bloque de vocales). Tendríamos \( 4! \). Pero además el bloque puede ser AAI,AIA,IAA. Por tanto serían \( 3\cdot 4!. \)
2) Si no aparecen dos vocales consecutivas. Las opciones son: cvcvcv ó vcvcvc (donde v es vocal y c consontante). Para cada tipo las posibilidades para distribuir las consontantes son \( P_3=3! \) y las vocales \( PR_{3; 2,1}=3!/2!=3 \).
En total serían:
\( 3!\cdot 3\cdot 2 \)
Saludos.
