Hola
Gaussa4) Realiza una propuesta sobre una medida que indique como de buena es la recta para representar la dependencia entre las variables, en concreto de Y en función de X.
Me parece muy parecida a la pregunta anterior. Lo único que se me ocurre es que la distancia de la recta a los puntos debería ser mínima, por lo que habría que minimizar la función y usar derivadas. No sé si es correcto esto (y de serlo, tampoco cómo hacerlo)
Está perfecto lo que dices. Fijate que la medida del error que te sugirió
el_manco que usaras es:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{}(f(x_i)-y_i)^2 \)
Esa sería nuestra función a minimizar. ¿Pero de qué depende? Bueno, depende de los parámetros que tengamos en esa función \( f \). Si \( f \) es una recta de la forma \( f(x)=a+bx \) como sugieren en tu ejercicio, nosotros lo que podemos "cambiar" para que la función se ajuste mejor a los datos son \( a \) y \( b \), o sea, nuestros parámetos. Por lo tanto, nuestra función a minimizar sería \( e:\mathbb{R}^2\rightarrow{}\mathbb{R_+} \) tal que:
\( e(a,b)=\displaystyle\sum_{i=1}^n(a+bx_i-y_i)^2 \)
Observa que lo único que hice fue sustituir \( f(x_i) \) por su valor \( a+bx_i \). ¿Cómo minimizamos esta función? Simplemente hallamos sus derivadas parciales. Estas son:
\( \displaystyle \frac{{\partial e}}{{\partial a}}(a,b)=\sum_{i=1}^n2(a+bx_i-y_i) \)
\( \displaystyle \frac{{\partial e}}{{\partial b}}(a,b)=\displaystyle\sum_{i=1}^n2x_i(a+bx_i-y_i) \)
Ahora corrobora (usando el criterio del Hessiano) que el vector \( (a,b) \) que cumple
\( (S)\begin{Bmatrix}\displaystyle \sum_{i=1}^n2(a+bx_i-y_i)=0 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^n2x_i(a+bx_i-y_i)=0\end{matrix} \)
es efectivamente un mínimo relativo. Fijate que aparece un \( 2 \) ahí pero que no afecta en nada a la solución del sistema. Las ecuaciones anteriores se llaman
ecuaciones normales. Si llamas
\( x=\left[{\begin{array}{ccc}{a}\\{b}\end{array}\right]\qquad A=\begin{bmatrix}{1}&{x_1}\\{1}&{x_2}\\{\vdots}&{\vdots}\\{1}&{x_n} \end{bmatrix}\qquad b=\left[{\begin{array}{ccc}{y_1}\\{y_2}\\{\vdots}\\{y_n}\end{array}\right] \)
el sistema \( (S) \) puede escribirse de forma compacta como \( A^tAx=A^tb \). En efecto:
\( {A^tA=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}&{\hdots}&{1}\\{x_1}&{x_2}&{x_3}&{\hdots}&{x_n}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}{1}&{x_1}\\{1}&{x_2}\\{\vdots}&{\vdots}\\{1}&{x_n} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{n}&{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i}\\{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i}&{\displaystyle \sum_{i=1}^n x_i^2}\end{bmatrix}\qquad A^tb=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}&{\hdots}&{1}\\{x_1}&{x_2}&{x_3}&{\hdots}&{x_n}\end{bmatrix}\cdot \left[{\begin{array}{ccc}{y_1}\\{y_2}\\{\vdots}\\{y_n}\end{array}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \sum_{i=1}^ny_i}\\{\displaystyle \sum_{i=1}^nx_iy_i}\end{array}\right]} \)
Por lo tanto, la ecuación \( A^tAx=A^tb \) es:
\( \begin{bmatrix}{na+\displaystyle b\sum_{i=1}^n x_i}\\{\displaystyle a\sum_{i=1}^n x_i+\displaystyle b\sum_{i=1}^n x_i^2}\end{bmatrix}=\left[{\begin{array}{ccc}{\displaystyle \sum_{i=1}^ny_i}\\{\displaystyle \sum_{i=1}^nx_iy_i}\end{array}\right] \)
que son exactamente las mismas a las que habíamos llegado derivando. Las ecuaciones normales también se pueden deducir por medio de un criterio geométrico (sin recurrir al cálculo en varias variables).
Saludos
