Hola
GaussaCometí errores en mi mensaje anterior, por eso borré gran parte de lo que decía
. Perdón. Lo que escribo a continuación es más bien para yo tenerlo presente (y no confundirme) que para otra cosa. No es que crea que no lo sabes ni nada por el estilo, al contrario ¡lo debes tener mucho más claro que yo!
Spoiler
Se define el coeficiente de correlación de dos variables aleatorias \( X \) e \( Y \) tales que \( 0<\mathbb{VAR}(X)<\infty \) y \( 0<\mathbb{VAR}(Y)<\infty \) mediante
\( \displaystyle \rho=\frac{\mathbb{COV}(X,Y)}{\sqrt{\mathbb{VAR}(X)}\sqrt{\mathbb{VAR}(Y)}} \)
Si \( (X_n)_{n\in \mathbb{N}} \) e \( (Y_n)_{n\in \mathbb{N}} \) son muestras iid, tales que \( 0<\mathbb{VAR}(X_1)=\mathbb{VAR}(X)<\infty \) y \( 0<\mathbb{VAR}(Y_1)=\mathbb{VAR}(Y)<\infty \) se puede definir el siguiente estimador para el coeficiente de correlación:
\( \rho_n=\displaystyle \frac{1}{n}\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)(Y_i-\bar{Y}_n)}{\sigma_n(X)\sigma_n(Y)} \)
donde \( \sigma_n^2(X)=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X}_n)^2 \) y de la misma manera con \( \sigma_n^2(Y) \). Se prueba (usando la ley fuerte de los grandes números) que el anterior es un estimador consistente, o sea, que \( P(\displaystyle \lim_n\ \rho_n=\rho)=1 \). De la misma manera que, por ejemplo, el promedio es un estimador consistente de la esperanza. Aquí es igual.
Basados en lo que está en el Spoiler, el estadístico de Spearman entre dos vectores \( x \) e \( y \) se define como el estimador anterior aplicado a dichas muestras, es decir
\( S(x,y):=\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2\sum_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2}} \)
Observa que en la fórmula anterior fue donde me equivoqué yo. Cuando empecé a hacer las cuentas vi que algo andaba mal. Así sí tiene sentido pues \( \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i-\bar{x}\bar{y} \) (y se puede aplicar la ley fuerte de los grandes números para asegurar que eso tiende casi seguramente con \( n \) a la covarianza).
Ahora bien, dada una muestra \( x=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \) se puede definir el rango de \( x_i \) que denotaremos \( r(x_i) \) como el lugar que ocupa el dato \( x_i \) en la muestra ordenada de menor a mayor. De esta forma, dado el vector \( x=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \) podemos construir un vector de rangos \( r_x=\big(r(x_1),r(x_2),\dots, r(x_n)\big) \) que nos indique a qué posición de la muestra ordenada corresponde cada observación de la muestra original. En ausencia de empates (como es el caso) debe cumplirse \( r(x_i)\in \{1,2,\dots, n\} \) y además \( r(x_i)\neq r(x_j)\ \forall i\neq j \).
Dicho todo ésto, ya estamos en condiciones de definir el coeficiente de correlación por rangos de Spearman \( r_S \). Dadas las muestras \( x=(x_1,x_2,\cdots, x_n) \) e \( y=(y_1,y_2,\cdots, y_n) \) consideramos los correspondientes vectores de rangos \( r_x=\big(r(x_1),r(x_2),\dots, r(x_n)\big) \) y \( r_y=\big(r(y_1),r(y_2),\dots, r(y_n)\big) \) como en el párrafo anterior, y definimos:
\( r_S=S(r_x,r_y):=\displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n\big(r(x_i)-\bar{r_x}\big)\big(r(y_i)-\bar{r_y}\big)}{\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n \big(r(x_i)-\bar{r_x}\big)^2\sum_{i=1}^n\big(r(y_i)-\bar{r_y}\big)^2}} \)
Por lo tanto, lo que hay que probar es que:
\( \displaystyle \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n\big(r(x_i)-\bar{r_x}\big)\big(r(y_i)-\bar{r_y}\big)}{\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^n \big(r(x_i)-\bar{r_x}\big)^2\sum_{i=1}^n\big(r(y_i)-\bar{r_y}\big)^2}}=1-\displaystyle\frac{6\displaystyle\sum_{i=1}^n{d_i^2}}{n(n^2-1)} \)
donde \( d_i=r(x_i)-r(y_i) \).
Bueno, ya sabemos que \( \bar{r_x}=\bar{r_y}=\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ni=\frac{n+1}{2} \). Calculamos ahora:
\( {\displaystyle \sum_{i=1}^n \big(r(x_i)-\bar{r_x}\big)^2=\sum_{i=1}^n{\red \Big(} r(x_i)^2-2r(x_i)\bar{r_x}+\bar{r_x}^2{\red \Big)}=\sum_{i=1}^n r(x_i)^2-2\bar{r_x}\sum_{i=1}^n r(x_i)+n\bar{r_x}^2=\sum_{i=1}^n i^2-2n\left(\frac{n+1}{2}\right)^2+n\left(\frac{n+1}{2}\right)^2=\frac{n^3-n}{12}} \).
Observa que como \( {\bar{r_x}=\bar{r_y} \) también se cumple \( \displaystyle \sum_{i=1}^n \big(r(y_i)-\bar{r_y}\big)^2=\displaystyle \frac{n^3-n}{12}} \).
Ahora bien, para saber cuánto vale el numerador empieza por plantear \( {\displaystyle \sum_{i=1}^n d_i^2=\sum_{i=1}^n \big(r(x_i)-r(y_i)\big)^2=\sum_{i=1}^n \big((r(x_i)-\bar{r_x}){\red -}(r(y_i)-\bar{r_y})\big)^2=\sum_{i=1}^n(r(x_i)-\bar{r_x})^2-2\sum_{i=1}^n(r(x_i)-\bar{r_x})(r(y_i)-\bar{r_y})+\sum_{i=1}^n (r(y_i)-\bar{r_y})^2} \). Despeja \( \displaystyle \sum_{i=1}^n(r(x_i)-\bar{r_x})(r(y_i)-\bar{r_y}) \) y sustituye las demás expresiones por las que calculamos antes (que ya están en términos de \( n \)).
Fíjate a ver si ahora no te sale. Yo no he terminado aún de hacer las cuentas.
Saludos
