[josepapaiii]

Hola, dada una función \( F: \mathbb{R}^2\rightarrow{R} \), definida por:

\( F(x,y)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& x+2y\geq 1\\0 & \mbox{si}& x+2y< 1\end{matrix} \)

Me piden que diga si es función de distribución.

Para ello, lo primero que hago es seguir los criterios:

1. \( F(x,y)\geq{0} \forall{x,y \in{R}^2} \)
2. Que sea continua a la derecha.
3. Monótona no decreciente.

Pero no sé cómo puedo ver estos hechos, además, me han comentado que no basta con ver si sus componentes son monótonas no decrecientes, si no que hay que utilizar la regla del paralelogramo.

He hecho la gráfica, he dibujado la recta \( x+2y=1 \), pero sigo sin tener claro qué hay que seguir haciendo.

Un saludo.

[pierrot]

En realidad, el teorema dice que si \( F:\mathbb{R}^2\longrightarrow{}\mathbb{R} \) cumple:

[1]\( F \) es continua por derecha y monótona creciente como función de cada una de sus variables (o sea, si dejando fijo \( x \), \( F \) como función de \( y \), cumple la condición cadlag y lo mismo al revés).
[2]\( \displaystyle \lim_{x,y\to +\infty}F(x,y)=1 \)
[3]\( \displaystyle \lim_{x\to -\infty}F(x,y)=0 \) y \( \displaystyle \lim_{y\to -\infty}F(x,y)=0 \)
[4]"Si se supone \( F \) función de distribución, bajo ella todo rectángulo \( C\subseteq{}\mathbb{R}^2 \) tiene probabildad positiva (o cero)". Esa es la idea (muy mal expresada, porque la probabilidad es por definición mayor o igual que cero); se formaliza definiendo los operadores diferencia. En el plano, sería asegurarse de que dados \( a_1<b_1 \) y \( a_2<b_2 \) se cumple que \( F(b_1,b_2)-F(a_1,b_2)-F(b_1,a_2)+F(a_1,a_2)\geq 0 \).

Si la función \( F \) verifica todo eso, hay un teorema de extensión que afirma que existe una variable aleatoria \( X \) tal que \( F=F_X \).

Saludos

[pierrot]

Fijate que \( F \) no es función de distribución por no cumplir con [4]. Toma \( (a_1,b_1)=(0,1) \) y \( (a_2,b_2)=(0,\frac{1}{2}) \).