[gmares]

Tengo una duda puntual sobre una demostración que aparece en wikipedia, a fin de no sacar las cosas de contexto dejo la página con la demostración completa y solo transcribo el fragmento que me resulta confuso:

http://es.wikipedia.org/wiki/Varianza

En el apartado varianza muestral aparece una demostración sobre el porque el estimador \( s^2 \) es insesgado y porque \( {s_n}^2 \) tiene sesgo.

Entre la línea 4 y 5 de la demostración se iguala:
\( Var(\overline{Y})\ =\ \frac{1}{n}Var(Y_1) \)

He aquí mi duda: \( \overline{Y} \) no es una constante? Y no es la varianza de una constante igual a cero?

Alguien podría demostrarme la igualdad en base a la esperanza o por medio de sumatorias??? Desde ya gracias!

[pierrot]

Hola

He aquí mi duda: \( \overline{Y} \) no es una constante? Y no es la varianza de una constante igual a cero?

No. \( \bar{Y} \) es una variable aleatoria que no es constante. Se le llama promedio y se define como una combinación lineal de variables aleatorias, a saber: \( \bar{Y}=\displaystyle \frac{Y_1+Y_2+\cdots +Y_n}{n} \). La varianza de \( \bar{Y} \) es:

\( \mathbb{VAR}(\bar{Y})=\displaystyle \mathbb{VAR}\left(\frac{Y_1+Y_2+\cdots +Y_n}{n}\right)=\frac{1}{n^2}\mathbb{VAR}(Y_1+Y_2+\cdots +Y_n) \)

Si las \( Y_i \) son independientes, \( \mathbb{VAR}(Y_1+Y_2+\cdots +Y_n)=\mathbb{VAR}(Y_1)+\mathbb{VAR}(Y_2)+\cdots +\mathbb{VAR}(Y_n) \) y si además son idénticamente distribuidas \( \mathbb{VAR}(Y_1)=\mathbb{VAR}(Y_2)=\cdots =\mathbb{VAR}(Y_n) \). En resumen, si las \( Y_i \) son iid se cumple que:

\( \displaystyle \mathbb{VAR}\left(\frac{Y_1+Y_2+\cdots +Y_n}{n}\right)=\frac{1}{n^2} n \mathbb{VAR}(Y_1)=\frac{1}{n}\mathbb{VAR}(Y_1) \)

Saludos