[Quema]

Hola

    En Psicología matmática se estudia lo que se llama heurística. Una de las más conocidas es la heurística del reconocimiento. El principio es este: Si entre dos opciones uno reconoce una de las dos, entonces esa es la de más valor. Por ejemplo: si les dijera cuál de las dos ciudades tiene más población: Moscú o Novosibirsk. Parecería claro que Moscú, por lo menos para extranjeros es más conocida que Novosibirsk. Este principio dice que Moscú debería ser la respuesta.
    Matemáticamente se explica de esta forma. Supongamos que tenemos N objetos ordenados por algún criterio. Por ejemplo N ciudades y su población. Se escoge un par al azar y debemos adivinar el de mayor población de los dos.
    Se supone que la persona conoce o no conoce (nunca oyó hablar) esas ciudades. Pueden ocurrir tres cosas:
    a) Si reconoce a las dos, entonces elige al azar con probabilidad β de acertar.
    b) Si conoce una de las dos, siguiendo la heurística elige a esta y suponemos que acierta con probabilidad α.
    c) Si no conoce a ninguna de las dos elige al azar con probabilidad (1/2) de acertar.
    Supongamos que hay n<N objetos reconocidos entonces hay por lo tanto N-n objetos no conocidos. Entonces habrá n(N-n)pares en los cuales un objeto es reconocido y el otro no. Además habrá (((N-n)(N-n-1))/2) pares en los cuales ninguno de los dos objetos es reconocido y habrá ((n(n-1))/2) pares en los cuales los dos objetos son reconocidos. El total de pares posibles será ((N(N-1))/2).
    Llamamos a \( \alpha \) la probabilidad de adivinar cuando se reconoce solamente uno de los objetos. A \beta la probabilidad de responder correctamente cuando se conocen los dos objetos. Y suponemos que si no se conocen los dos objetos esta probabilidad es ½.
    Entonces podemos escribir:


\( f(n)=\frac{2}{N}\left( \frac{n}{N}\right) \left( \frac{N-n}{N-1}\right)\alpha +\left( \frac{N-n-1}{N-1}\right) \left( \frac{N-n}{N}\right) \frac{1}{2}+\left( \frac{n}{N}\right) \left( \frac{n-1}{N-1}\right) \beta \)

Siendo esta fórmula interpretada como la probabilidad de acertar si se reconocen \( n \) objetos. Ellos afirman que si \( \alpha>\beta \) entonces cuanto menor sea n mayor es esa probabilidad. Está bien?.

[Luis Fuentes]

Hola

 Tienes una errata:

\( f(n)=\frac{2}{\color{red}N\color{black}}\left( \frac{n}{N}\right) \left( \frac{N-n}{N-1}\right)\alpha +\left( \frac{N-n-1}{N-1}\right) \left( \frac{N-n}{N}
\right) \frac{1}{2}+\left( \frac{n}{N}\right) \left( \frac{n-1}{N-1}\right) \beta \)

 Es simplemente:

\( f(n)=2\left( \frac{n}{N}\right) \left( \frac{N-n}{N-1}\right)\alpha +\left( \frac{N-n-1}{N-1}\right) \left( \frac{N-n}{N}
\right) \frac{1}{2}+\left( \frac{n}{N}\right) \left( \frac{n-1}{N-1}\right) \beta=\dfrac{1}{N(N-1)}g(x) \)

 donde:

\(  g(x)=2x(N-x)\alpha +\dfrac{1}{2}(N-x-1)(N-x)+x(x-1)\beta \)

 Uno puede derivar \( g(x) \) para estudiar si es creciente o decreciente. O también tenemos que:

\(  g(x)-g(x-1)=N(2\alpha-1)+2\alpha-2\beta+x(1+2\beta-4\alpha) \)

 Entonces:

 1) Si \( 1+2\beta-4\alpha\geq 0 \) se tiene que \( g(x)-g(x-1)\leq 2(N-1)(\beta-\alpha) \) y por tanto si además \( \alpha>\beta \) la función es decreciente.

 2) Si \( 1+2\beta-4\alpha\geq 0 \) se tiene que \( g(x)-g(x-1)\geq (N-1)(2\alpha-1) \) y por tanto si además \( \alpha>\dfrac{1}{2} \) la función es creciente.

 3) Si \( 1+2\beta-4\alpha\leq 0 \) se tiene que \( g(x)-g(x-1)\geq 2(N-1)(\beta-\alpha) \) y por tanto si además \( \beta>\alpha \) la función es creciente.

 4) Si \( 1+2\beta-4\alpha\leq 0 \) se tiene que \( g(x)-g(x-1)\leq (N-1)(2\alpha-1) \) y por tanto si además \( \alpha<\dfrac{1}{2} \) la función es decreciente.

 Esto se puede reescribir diciendo:

 - Si \( \beta\leq 1/2 \) y \( \beta\leq \alpha\leq \dfrac{1}{2} \) entonces decrece.
 - Si \( \beta\geq 1/2 \) y \( \dfrac{1}{2}\leq \alpha\leq \beta \) entonces crece.

 Pero esa causística no cubre todas las posibilidades.

 ¿Qué ocurre por ejemplo si \( \beta \geq 1/2 \) y \( \alpha > \beta \)?.

 Entonces:

\(  g(1)-g(0)=(N-1)(2\alpha-1)> 0. \)
\( g(N)-g(N-1)=2(N-1)(\beta-\alpha)<0 \)

 Por tanto en este caso el hecho de ser creciente o decreciente depende de \( n \) (uno puede precisar más y estudiar hasta que \( n \) crece y desde que \( n \) decrece).

La conclusión es que sin precisar más las hipótesis y si no me he equivocado en el análisis, la afirmación que apuntas no es cierta.

Saludos.

CORREGIDO (había puesto \( a \) por \( \alpha \) y \( b \) por \( \beta \) en algunos sitios).

[Quema]

Hola

¿Qué es \( a \) y \( b \)? El artículo supone que \( \alpha>\displaystyle\frac{1}{2} \)?

Si uno estudia la derivada segunda de esa función es fácil de ver que la concavidad se cumple con esa hipótesis.

En realidad interesa estudiar las condiciones para las cuáles el \( n^*\in{(0,N)} \). Según el artículo esta condición es \( \alpha>\beta \) y \( \alpha>\frac{1}{2}} \). Es así?

Hay un problema adicional, se supone que \( n \) y \( N \) son enteros positivos, entonces: ¿se puede usar derivadas?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¿Qué es \( a \) y \( b \)? El artículo supone que \( \alpha>\displaystyle\frac{1}{2} \)?

Eran \( \alpha \) y \( \beta \) respectivamente. Ya lo corregí.

En realidad interesa estudiar las condiciones para las cuáles el \( n^*\in{(0,N)} \). Según el artículo esta condición es \( \alpha>\beta \) y \( \alpha>\frac{1}{2}} \). Es así?

Supongo que por en \( n^* \) te refieres al punto donde se alcanza el máximo. Si es correcto. Se deduce simplemente de esto:

\(  g(1)-g(0)=(N-1)(2\alpha-1). \)
\( g(N)-g(N-1)=2(N-1)(\beta-\alpha) \)

El primer incremento es positivo (creciente) si \( \alpha>1/2 \) y el segundo negativo si \( \beta<\alpha \). Por tanto el punto donde cambia de creciente a decreciente es intermedio.

Pero esto no es lo que afirmaste en tu primer mensaje.

Hay un problema adicional, se supone que \( n \) y \( N \) son enteros positivos, entonces: ¿se puede usar derivadas?

No hay problema en eso. Si la función es creciente sobre los reales en un intervalo, lo es sobre cualquier restricción. En paritcular sobre los enteros.

Saludos.

[Quema]

Hola

¿Cómo varía esta conclusión, si ahora asumimos que \( \alpha(n),\beta(n) \)? Es decir pasan a ser funciones de \( n \). Manteniendo que \( \alpha(n)\in{}(0.5,1] \) y \( \beta\in{}[0,1] \).

¿Qué condiciones deberían cumplir \( \alpha(n),\beta(n) \) para que \( n^*\in{(0,N)} \) ?
Las cosas pueden ser un poco más complejas.

El siguiente cuadro en la primera columna se ordenan de mayor a menor población 10 ciudades. El individuo reconoce aquellas con el 1 y con el cero no las reconoce 0.

Rank   Recog   Cr
1   1   4
2   1   4
3   0   0
4   1   3
5   1   3
6   0   0
7   1   2
8   0   0
9   1   1
10   0   0
   6   17

 Por lo tanto, como hay 6 ciudades reconocidas y 4 no reconocidas, tendremos 24 pares donde una ciudad es reconocida y otra no lo es. En realidad \( \alpha \) se define como el porcentaje de éxitos cuando reconocemos \( n \) objetos. Si a la pregunta ¿cuál ciudad es la de mayor población? Acertaríamos el porcentaje \( \frac{17}{24} \) si siguiéramos la heurística del reconocimiento (tercera columna).

Ahora aún con 10 ciudades el valor de \( \alpha \) puede variar. Si en lugar de reconocer la ciudad 9 se conociése la 10, entonces el porcentaje de aciertos bajaría a: \( \displaystyle\frac{16}{24} \).



Saludos

[Quema]

Hola

Hay algo que no me cierra en todo este tema de la heurística. La heurística dice que si se reconoce un objeto de los dos, debe elegirse como respuesta correcta a ese objeto. Yo interpreto en términos de probabilidad lo siguiente. Supongamos que hay \( N \) objetos ordenados de acuerdo a cierto criterio (por ejemplo ciudades y población) y reconozco n de ellos. Primero reconocer no significa que tenga toda la información sobre ese objeto, puede ser simplemente que escuché hablar sobre él alguna vez y mi información no esté relacionada con la cantidad de habitantes.

Supongamos que extraigo dos objetos: Alicante y XX (ciudad que nunca escuché hablar o no la reconozca).  Defino A={Respuesta correcta} y B={Reconozco a Alicante} y C={Reconozco a XX}. Seguir el criterio del reconocimiento sería acertado si

\( P(A/B \cap{}\overline{}\overline{C})=P(A/\overline{B}\cap{}C)>P(A/\overline{B}\cap{\overline{C}) \) y además \( P(A/B \cap{}\overline{}\overline{C})=P(A/\overline{B}\cap{}C)>\displaystyle\frac{1}{2} \)

Está bien?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 No sé. Está claro que si yo conozco tal ciudad (o pueblo) porque es famosa por tener sólo diez habitantes, pues diría la desconocida.

 Es decir, el modelo ese se basa en suponer:

 - Que es más probable acertar si se conoce alguna ciudad que si no se conoce ninguna (esto es muy razonable).

 - Que es más probable que la ciudad conocida (frente a la desconocida) sea la más poblada (esto ya es más discutible).

Saludos.