[Eleal]

He estado intentando probar si el siguiente límite existe y es 0:
\( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}{\displaystyle\dfrac{\displaystyle\binom{n}{n/2}+\cdots+\displaystyle\binom{n}{n/2+\sqrt{n}}}{2^n}}=0 \)

pero hasta ahora me ha resultado un poco difícil. Quisiera por favor una pista para poder probarlo (si es que fuera cierto).

Saludos,

eleal

[Luis Fuentes]

Hola

 Como primera observación para que el numerador tenga sentido \( n \) debe de ser par y un cuadrado perfecto, luego podemos sustituir \( n \) por \( 4m^2 \). Nos queda el límite:

\(  \displaystyle\lim_{m \to{+}\infty}{}\dfrac{\displaystyle\binom{4m^2}{2m^2}+\ldots+\displaystyle\binom{4m^2}{2m^2+2m}}{2^{4m^2}} \)

 Como segunda observación el límite está acotado inferiormente por:

\(  \displaystyle\lim_{m \to{+}\infty}{}\dfrac{(2m+1)\displaystyle\binom{4m^2}{2m^2+2m}}{2^{4m^2}} \)

 Usando Stirling queda:

\( \color{red} \displaystyle\lim_{m \to{+}\infty}{}\dfrac{(2m+1)\dfrac{\sqrt{4m^2}(\color{blue}4\color{red}m^2)^{4m^2}}{\sqrt{2\pi(2m^2+2m)(2m^2-2m)}(2m^2+2m)^{2m^2+2m}(2m^2-2m)^{2m^2-2m}}}{2^{4m^2}}=\displaystyle\lim_{m \to{+}\infty}{}(2m+1)\dfrac{\sqrt{4m^2}(\color{blue}2\color{red}m^2)^{4m^2}}{\sqrt{2\pi(2m^2+2m)(2m^2-2m)}(2m^2+2m)^{2m^2+2m}(2m^2-2m)^{2m^2-2m}}=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\color{black} \)

Pero algo he hecho mal en las cuentas. El Mathematica me devuelve \( \sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\dfrac{1}{e^2} \) y es una solución más lógica (por las cuentas que hice pare \( m \) bajo).

 Sea como sea la conclusión es que el límite parece que no da cero.

 Superiormente podemos acotar por:

\(  \displaystyle\lim_{m \to{+}\infty}{}\dfrac{(2m+1)\displaystyle\binom{4m^2}{2m^2}}{2^{4m^2}}=\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \)

 Por ahora lo dejo aquí.

Saludos.

P.D. ¡Cuánto tiempo Eleal!.

CORREGIDO

[Eleal]

No estoy 100% seguro, pero creo que en las cuentas el error podría ser que en el numerador del primero
de los límites debería ser \( \sqrt{4m^2}(4m^2)^{4m^2}) \).

¡¡Gracias por toda tu ayuda el_manco!!
Sí.., ¡tenía bastante tiempo sin escribir un mensaje en el foro!

[Luis Fuentes]

Hola

No estoy 100% seguro, pero creo que en las cuentas el error podría ser que en el numerador del primero
de los límites debería ser \( \sqrt{4m^2}(4m^2)^{4m^2}) \).

Eso fue una errata; intteercambié los numeradores de las dos fracciones que he puesto, la segunda simplificada de la primera. Ya lo corregí.

Pero el error tiene que esar en otro sitio. No acabo de ver de dónde sale el \( \dfrac{1}{e^2} \) que aparece en el resultado del límite que da el Mathematica.

Saludos.