Hola!
Si no he entendido mal... tenemos cuatro poblaciones con distribuciones normales respectivamente con medias \( a+b+c, a+b-c, a-b+c \) y \( a-b-c \) respectivamente y misma varianza \( \sigma^2 \) y extraemos para cada población una muestra de \( n \) individuos.
Para la población 1, tenemos observaciones \( X_1^1,x_2^1,\dots, X_n^1 \).
Para la población 2, tenemos observaciones \( X_1^2,x_2^2,\dots, X_n^2 \)
Lo mismo para las poblaciones 3 y 4.
Sabiendo que, el estimador de máxima verosimilitud \( \hat{\mu} \) y \( \hat{\sigma}^2 \) para la media \( \mu \) y varianza \( \sigma^2 \) respectivamente de una distribución normal \( N(\mu, \sigma^2) \) son la media muestral y la varianza muestral, es decir, \( \hat{\mu}=\overline{X}_n, \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X}_n)^2 \).
Tenemos que, para la muestra 1, \( a+b+c = \overline{X^1}_n \)
Para la muestra 2: \( a+b-c = \overline{X^2}_n \)
Para la muestra 3: \( a-b+c = \overline{X^3}_n \)
Para la muestra 4: \( a-b-c = \overline{X^4}_n \)
y el estimador para la varianza: \( \sigma^2 = \frac{1}{4}((S^1)^2 + (S^2)^2+(S^3)^2 + (S^4)^2) \)
donde \( (S^i)^2 \) denota la varianza muestral de la población i-ésima.
Atención: He omitido los gorritos pero estas igualdades son estimadores, no los valores reales de los parámetros!
Ahora bien, si por ejemplo, sumamos la ecuación 2 y 3, obtenemos \( 2a = {\overline X^2}_n+{\overline X^3}_n \) de lo que obtenemos que un estimador para a es:
\( \hat{a}=\frac{1}{2}(\overline X}^2}_n+\overline X}^3_n) \)
y con esta idea seguro que puedes continuar.
Espero que haya servido.
Saludos.
