[josepapaiii]

Hola, estoy tratando de demostrar que:

\( \textsf{lim sup}A_n=\bigcap\limit_{n=1}^{ }{ } \bigcup\limit_{k\geq n}^{ }{ } A_k \)

Para ello voy a demostrar la doble implicación

Empecemos por \( \subseteq{} \)

Partimos de que si un elemento \( w \) pertenece al lím sup, entonces pertenece a infinitos conjuntos. Por reducción al absurdo, decimos que \( w \not\in{} \bigcap\limit_{n=1}^{ }{ } \bigcup\limit_{k\geq{} n}^{ }{ } A_k \). Así pues, existirá un \( n \) tal que a partir del cual \( w \not\in{} \bigcup\limit_{n=1}^{ }{ } A_k \), es decir, \( w\not\in{} A_n, w\not\in{} A_{n+1}... \) luego entonces pertenece como mucho a \( (n+1) \) conjuntos, y esto es un absurdo, puesto que hemos partido de que pertenece a infinitos conjuntos.

Mi duda es la siguiente, está en el hecho de afirmar esto:

"existirá un \( n \) tal que a partir del cual \( w \not\in{} \bigcup\limit_{n=1}^{ }{ } A_k \)"

Seguramente será así, pero no llego a estar de acuerdo puesto que para no estar en una intersección es suficiente que no esté en uno de ellos, no a partir de cierto \( n \).

Un saludo.

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero es que está mal ya el enunciado. Debiera de ser:

 \( \textsf{lim sup}A_n=\bigcap\limit_{n=1}^{ }{ } \bigcup\limit_{\color{red}k\geq n\color{black}}^{ }{ } A_k \)

Saludos.

[josepapaiii]

Corregido, pido disculpas.

[Luis Fuentes]

Hola

 No me queda claro si con esa correción entiendes ahora el razonamiento.

 Si \( w \not\in{} \bigcap\limit_{n=1}^{ }{ } \bigcup\limit_{k\geq{} n}^{ }{ } A_k \) entonces existe un \( n \) para el cual \( w \not\in{} \bigcup\limit_{k\geq{} n}^{ }{ } A_k \), y por tanto \( w \) no está en ningún \( A_k \) para \( k\geq n \).

Saludos.

[josepapaiii]

Hola el_manco, sigo sin verlo

insisto (no por ello será lo correcto) en que si \( w \not\in{} \bigcap\limit_{n=1}^{ }{ } \bigcup\limit_{k\geq{} n}^{ }{ } A_k \) es suficiente \( w \) no pertenezca a una sola unión de \( A_n \) y no a partir de un cierto \( n \). ¿consigo explicarme?

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten en cuenta que lo que intersecas son uniones de todos los \( A_n \) desde un cierto índice. No intersecas de manera individual los \( A_n \).

 Es decir si llamamos \( B_n=\bigcup\limit_{k\geq{} n}^{ }{ } A_k \), entonces:

 1) Qué \( w\not\in \bigcap\limit_{n=1}^\infty B_n \) significa que existe un \( n \) para el cuál \( w\not\in B_n \).

 2) Qué \( w\not\in B_n \) significa que \( w\not\in \bigcup\limit_{k\geq{} n}^{ }{ } A_k \).

 3) Qué w no esté en esa unión significa que no está en ningún conjunto de los cuáles unimos, es decir, \( w\not\in A_k \) para todo \( k\geq n \).

 ¿Qué punto no entiendes?.

Saludos.