Por ejemplo, definamos la variable indicatriz \( X \) correspondiente a si la mujer está o no embarazada. De la misma manera, definamos \( Y \) correspondiente al resultado del test: \( \{Y=0\} \) si da negativo, e \( \{Y=1\} \) si da positivo. Por la letra, deducimos que \( P(\{X=0\})=0,99 \), \( P(\{X=1\})=0,01 \). También sabemos que \( P(\{Y=1\}|\{X=1\})=0,99 \) y que \( P(\{Y=0\}|\{X=0\})=0,97 \). Se debe determinar cuánto vale \( P(\{X=1\}|\{Y=1\}) \). Por definción:
\( P(\{X=1\}|\{Y=1\})=\displaystyle \frac{P(\{X=1\}\cap{}\{Y=1\})}{P(\{Y=1\})} \)
Ahora calculamos por separado numerador y denominador.
Para el numerador:
\( {P(\{X=1\}\cap{}\{Y=1\})=P(\{Y=1\}\cap{}\{X=1\})=P(\{Y=1\}|\{X=1\})\cdot P(\{X=1\})} \)
Para el denominador ten en cuenta que:
\( \{Y=1\}=\{Y=1\}\cap{}(\{X=0\}\cup{}\{X=1\}) \) donde obviamente los sucesos \( \{X=0\} \) y \( \{X=1\} \) son disjuntos. Que sean disjuntos es clave ya que la probabilidad de dos sucesos disjuntos es la suma de sus probabilidades. Desarrolla y juega con la definición de probabilidad condicional para ir calculando lo que necesites.
Saludos
