[josepapaiii]

Hola, he conseguido tener claro qué es "medir", o qué es en cierto modo una "medida", es asignar un valor positivo o 0 interpretable como una longitud, área, volumen o una "probabilidad" a un subconjunto de un conjunto dado (leído en wikipedia)
Una vez dado este paso, me gustaría saber qué hace a la \( \sigma -algebra \) que sea un espacio medible, es decir, qué propiedades son las que autentifican a esa estructura para ser medible y no por ejemplo a un álgebra, semiálgebra o semianillo.

Por otro lado, en clase hemos hablado de espacios que no son medibles los cuales podemos llegar a hacerlos "convirtiendo" ese conjunto en una \( \sigma -algebra \). Me gustaría saber si tiene sentido preguntar qué es lo mínimo que debemos tener para conseguir tener un espacio medible, por poner un ejemplo dentro de mis conocimientos, si tenemos un grupo, añadiendo la propiedad conmutativa tendremos un grupo abeliano, o dicho de otro modo, ¿cuál es la estructura más "sencilla" antes de llegar a una \( \sigma - algebra \)?

Un saludo.

[Héctor Manuel]

La gran ventaja de las \( \sigma- \)álgebras es que las uniones infintas numerables de sus elementos vuelve a estar en la familia.

Por tanto vas a poder medir muchísimos mas conjuntos en \( \mathbb{R} \) (o en general, en tu conjunto \( X \))

En cuanto a la segunda cuestión, es el álgebra lo "menos fuerte" antes de llegar a una \( \sigma \)-álgebra.

Saludos.

[josepapaiii]

Es decir, la "potencia" de una \( \sigma -algebra \) es que al ser medible y cerrada para uniones numerables, si pudiendo poner cualquier conjunto \( X \) como uniones numerables de conjuntos, puedo llegar a medir \( X \). \( \mathbb{R} \) es un ejemplo de lo que estamos comentando, ¿hay alguna lógica en lo que estoy diciendo?.

Un saludo.

[Héctor Manuel]

Casi. Lo que sucede es que X ya en sí elemento de \( \sigma- \)álgebra, por definición de la misma.

Pero, por ejemplo, cualquier conjunto abierto en \( \mathbb{R} \) es unión numerable de intervalos abiertos y disjuntos dos a dos. Digamos que \( A \) es propiamente abierto si es abierto y no se puede escribir como unión FINITA de intervalos abiertos y disjuntos dos a dos. Por tanto, A difícilmente estará en alguna álgebra, ya que éstas no contemplan uniones infinitas.  Pero si lo que tienes es una \( \sigma- \)álgebra de Borel, entonces cualquier A bajo estas condiciones será medible.

Saludos.

[josepapaiii]

Hector Manuel, me gustaría en primer lugar saludarte y agradecerte por tus comentarios, en segundo lugar, ¿a quién llamas \( A \)?

Por otro lado,

entonces puedo deducir que es distinto una \( \sigma -álgebra \) que una \( \sigma -álgebra \) de Borel, por eso por donde voy estudiando, aún no se admite cualquier \( \sigma -álgebra \) si no que más adelante, introduce las borelianas, y a partir de ahí, ya empezamos a utilizar y a definir la función de medida. ¿tiene sentido lo que digo?

Un saludo.

[Héctor Manuel]

Si tienes un espacio topológico \( (X,\tau) \), la \( \sigma \)-álgebra de Borel es la menor \( \sigma \)-álgebra que contiene a \( \tau \).

Esto lo verás más adelante.

Saludos.

PD: A es cualquier abierto en \( \mathbb{R} \) que no se puede expresar como unión finita de intervalos abiertos y disjuntos dos a dos. Por ejemplo, \( A=\displaystyle\bigcup_{i=1}^\infty(2i+1,2i+2) \)

Saludos.