Hola, deseo me orienten con un problema de estadistíca, es el siguiente:
Sea \( X_{1}, X_{2},...,X_{n} \) una muestra aleatoria de la distribución uniforme en \( ({\theta} -\frac{1}{2} , {\theta} +\frac{1}{2} ) \). Determinar la distribución de la mínima estadística de orden \( Y_{1}\equiv{X_{1}} \) y de la máxima \( Y_{n}\equiv{X_{n}} \). Encontrar además sus esperanzas y deducir una estadística, no nula, cuya esperanza sea cero.
Calculé las distribuciones y obtuve esto:
\( F_{Y_{1}}(y_{1}) = y-{\theta} + \frac{1}{2} \)
\( F_{Y_{n}}(y_{n}) = (y-{\theta} + \frac{1}{2})^{n} \)
pero mi duda surge al calcular las esperanzas, la traté de calcular así:
\(
E(y_{1}) = \displaystyle\int_{{\theta} -\frac{1}{2}}^{{\theta} + \frac{1}{2}}y_{1} f_{y_{1}} (y_{1}) dy_{1} \)
\( = \displaystyle\int_{{\theta} -\frac{1}{2}}^{{\theta} + \frac{1}{2}}y_{1} [n( \theta - y + \frac{1}{2})^{n-1}] dy_{1} \)
y aquí es donde me quedo porque no sé si este bien este paso (presiento que no
). Desde ya mil gracias, cualquier ayuda sera bienvenida.
