[mgm_]

Si \( f_{XY}= x+y x,y \in{(0,1)} \) ent.  \( P[X-Y<1]=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\int_{X-1}^{1}( x+y)  dy dx \)?

[pierrot]

¿La densidad está dada por la siguiente fórmula?

\( f_{XY}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} x+y & \mbox{ si }& (x,y)\in (0,1)^2\\0 & \mbox{ si }& (x,y)\not\in (0,1)^2\end{array}\right. \)

Lo pregunto porque se ve otra cosa en tu mensaje.

Saludos

[mgm_]

Si \( f_{XY}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} x+y & \mbox{ si }& x,y\in (0,1)\\0 & \mbox{ si }& \mbox{ no }\end{array}\right. \)

[pierrot]

Bueno, en ese caso se tendría que \( \displaystyle P(X-Y<1)=P((X,Y)\in D)=\iint_D f_{XY}(x,y)\ dx\ dy  \) donde \( D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x-y<1\} \)

Pero nota que \( D\cap{}(0,1)^2=(0,1)^2 \) por lo que esa probabilidad vale 1.

Saludos

[mgm_]

Abusando de tu ayuda... una dudita mas... El problema me pide encontrar el valor de c de la siguiente función: \( f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} cx(1-x-y) & \mbox{ si }& x,y>0,x+y<1\\0 & \mbox{ si }& \mbox{ no }\end{array}\right. \) Mi duda es:

\( \displaystyle 1=\int_{0}^{1-y}\displaystyle\int_{0}^{1-x}f_{XY}(x,y) \) está bien planteado?

[pierrot]

La idea está bien, pero creo que no está bien planteada. Ha de ser:

\( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\ dx\ dy=1 \). Pero esta función sólo tiene masa en el triángulo \( T=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2| x+y<1,\ x>0,\ y>0\} \). Por lo tanto, queda:

\( {\displaystyle 1=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)\ dx\ dy=\int_0^1\int_0^{1-x}cx(1-x-y)\ dy\ dx=c\cdot \frac{1}{24}\Longrightarrow{}c=24} \)

Mira el dibujo de \( T \):



Saludos

[mgm_]

Mil gracias ! 

[pierrot]

Mil gracias ! 

De nada.