Hola.
Tengo que demostrar dos propiedades de la media aritmética. No sé si lo tengo bien hecho.
a) Teorema de Köning: La media de las desviaciones al cuadrado de los valores de la variable respecto a una constante \( p \) cualquiera, se hace mínima cuando \( p=\bar{x} \)
Es decir, \( min\displaystyle\sum_{i=1}^k{(x_i-p)^2n_i}=\displaystyle\sum_{i=1}^k{(x_i-\bar{x})^2n_i} \).
He hecho lo siguiente:
\( min\displaystyle\sum_{i=1}^k{(x_i-p)^2n_i}=\displaystyle\sum_{i=1}^k{2(x_i-p)(-n_i)}=\displaystyle\sum_{i=1}^k{-2n_ix_i}+\displaystyle\sum_{i=1}^k{2pn_i}=-2\displaystyle\sum_{i=1}^k{n_ix_i}+2p\displaystyle\sum_{i=1}^k{n_i}=-2\bar{x}n+2pn=p-\bar{x}=0 \).
Luego \( p=\bar{x} \), que era lo que quería demostrar.
Aquí también tengo una duda. Sé lo que me pide el enunciado porque después me pone que calcule el \( min\displaystyle\sum_{i=1}^k{(x_i-p)^2n_i} \). Pero si no me lo hubieran escrito no sabría lo que me piden. Lo comparo y todavía no lo veo. ¿Qué son las desviaciones de las que habla?¿Dónde aparece en el enunciado \( n_i \)?
b) Si de un conjunto de valores, \( n \), obtenemos dos o más subconjuntos disjuntos de \( n_{(1)} \) y \( n_{(2)} \) elementos, la media aritmética de todo el conjunto (\( \bar{x} \)) se relaciona con las medias aritméticas de los diferentes conjuntos (\( \bar{x_1} \) y \( \bar{x_2} \)) de la forma siguiente:
\( \bar{x}=\displaystyle\frac{\bar{x_1}n_{(1)}+\bar{x_2}n_(2)}{n} \).
Y yo lo resuelvo así:
\( \displaystyle\frac{\bar{x_1}n_{(1)}+\bar{x_2}n_(2)}{n}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{n_{(1)}\displaystyle\sum_{i=1}^{k_1}{x_{i_{1}}n_{i_{(1)}}}}{n_{(1)}}+\displaystyle\frac{n_{(2)}\displaystyle\sum_{i=1}^{k_2}{x_{i_{2}}n_{i_{(2)}}}}{n_{(2)}}}{n}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k_1}{x_{i_{1}}n_{i_{(1)}}}+\displaystyle\sum_{i=1}^{k_2}{x_{i_{2}}n_{i_{(2)}}}}{n}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^k{x_in_i}}{n}=\bar{x} \).
¿Tengo bien escrito lo de \( x_{i_{1}},n_{i_{2}} \)...? No sé si esos índices están bien puestos o si se podría escribir mejor.
Saludos y muchas gracias
