El problema es el siguiente:¿Cuántas de las permutaciones de 111233557 satisfacen que todos los 1 están a la izquierda del 2 y todos los 5 a su derecha (como por ejemplo 113127535)
Para resolverlo voy a usar este resultado: Sea A un conjunto de n elementos y B un conjunto con m elementos, la cantidad de funciones inyectivas de A en B, que se pueden definir es:\( \frac{m!}{(m-n)!} \)
Yo pensé al problema de la siguiente manera:
(#) A1A1A1A2A5A5A
Las letras A, representan los lugares posibles dónde puedo ubicar los dígitos 3,3,7 sin alterar el orden relativo de 111255
Primer caso
Primero voy a pensar al 337, no como tres dígitos, si no, como uno solo: X=337
Entonces la X representa un elemento. Ahora, ¿Cuántas posiciones distintas puede tener X en (#)?
Hay 7 letras A, entonces,X puede tener 7 posiciones distintas.
X=337 tiene \( \frac{3!}{2!}=3 \)
Y 111255 tiene \( \frac{6!}{3!2!} \). A la cantidad de permutaciones del 111255 la voy a notar con \(
\alpha \)
Luego este primer caso tiene \( 3.7.\alpha \) permutaciones.
Segundo caso
Quiero contar la manera de distribuir tres elementos (3,3,7) en las siete posiciones. Esto es como contar la cantidad de funciones inyectivas de un conjunto de tres elementos en uno de siete elementos. Esto es \( \frac{7!}{4!} \), pero no hay que olvidar que estoy contando al elemento 3 el doble de veces, entonces, hay que dividir por dos.
Nota: A todos los casos hay que multiplicarlos por \( \alpha \)
La cantidad de permutaciones del segundo caso es: \( \frac{7!}{4!}.\frac{1}{2}.\alpha \)
Tercer caso
Pienso al 33 como un elemento (33=A) y al 7 como otro elemento y quiero contar la cantidad de funciones inyectivas. Esto es \( \frac{7!}{5} \)
Este caso tiene: \( \frac{7!}{5!}.\alpha \)
Cuarto caso
Más simplificado: 73=B y 3, en siete elementos. La cantidad del cuarto caso es igual a la del tercer caso.
Quinto caso
Tomo a 37=C y 3, en siete elementos. La cantidad es la misma que en el caso tres.
Luego juntando los cinco casos, la respuesta al problema es:
\( 21\alpha+\frac{7!}{4!.2}.\alpha+\frac{3.7!}{5!}.\alpha \)
Díganme si esto está bien
