[p33rz]

Sean \( X,Y \) variables con distribución normal con \( EX=EY=0 \), \( EX^2=1 \), \( EY^2=4 \) y \( EXY=1 \).

Calcular la probabilidad de que \( \left |{X}\right |\leq{\left |{Y}\right |} \).

Alguna ayuda porfavor!

[HernanV]

Observa que \( \mu_{X} = \mu_{Y} = 0 \). Observa también que \( \sigma_{X}^{2} = \mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^{2}) - \mathbb{E}^{2}(X) \) y \( \sigma_{Y}^{2} = \mathbb{V}(Y) = \mathbb{E}(Y^{2}) - \mathbb{E}^{2}(Y) \).

¿Puedes continuar?.

[p33rz]

Lo que pasa es que al no ser la variables independientes, no puedo aplicar que la suma de normales es normal, por ejemplo.

[pierrot]

Debes hallar la función de densidad conjunta del vector aleatorio \( Z=(X,Y) \). Teniendo dicha función, lo que te piden es:

\( P(Z\in D)=\displaystyle \iint_D f_Z(x,y)\ dx\ dy \) donde \( D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: \left |{x}\right |\leq \left |{y}\right |\} \)

Para ello nota (como ya lo mencionó HernanV) que \( X\sim N(\mu_X,\sigma_{X}^{2}) \) e \( Y\sim N(\mu_Y,\sigma_{Y}^{2}) \) donde \( \mu_X=\mu_Y=0 \), \( \sigma_X=1 \) y \( \sigma_Y=2 \). Además \( \mathbb{COV}(X,Y)=\sigma_{XY}=1 \) (todo ésto es dato). Define la matriz de covarianzas como:

\( \displaystyle \Sigma_{Z}=\begin{bmatrix}{\sigma_X^2}&{\sigma_{XY}}\\{\sigma_{XY}}&{\sigma_Y^2}\end{bmatrix} \) (matriz simétrica y definida positiva)

Ahora encuentra una matriz \( A \) tal que \( AA^t=\Sigma_Z \). El vector \( Z=(X,Y) \) definido como \( Z=PA^t+\vec{\mu} \) donde \( \vec{\mu}=(\mu_X,\mu_Y) \) y \( P=(P_1,P_2) \) con \( P_1,P_2\sim N(0,1) \) iid satisface lo que queremos, es decir:

1) \( X \) tiene distribución \( N(\mu_X,\sigma_{X}^{2}) \)
2) \( Y \) tiene distribución \( N(\mu_Y,\sigma_{Y}^{2}) \)
3) \( \mathbb{COV}(X,Y)=\sigma_{XY} \)

De aquí puedes obtener la densidad \( f_Z \).

Saludos

PD. Una posible matriz \( A \) es \( A=\begin{bmatrix}{-\frac{1}{2}}&{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{-2}&{0}\end{bmatrix} \)

[pierrot]

Me sale \( \displaystyle f_Z(x,y)=\frac{1}{2\pi\sqrt{3}}e^{-\frac{4x^2-2xy+y^2}{6}} \). Ahora para integrar esta función en \( D \) no tengo idea. Supongo que numéricamente debe poder calcularse.

El número que se pide vendría a ser \( {\displaystyle \int_{-\infty}^0\int_y^{-y}\frac{1}{2\pi\sqrt{3}}e^{-\frac{4x^2-2xy+y^2}{6}}\ dx\ dy+ \int_{0}^{+\infty}\int_{-y}^{y}\frac{1}{2\pi\sqrt{3}}e^{-\frac{4x^2-2xy+y^2}{6}}\ dx\ dy\approx 0,3636+0,3636=0,7272} \) (según Derive)

Saludos

[p33rz]

Muchas gracias!! me quedó muy claro.

Mediante el cambio de variable \( W=A^{-1}Z \) se puede calcular la integral explícitamente, dando:

\( \displaystyle  P(Z\in D)=\iint_D f_Z(x,y)\ dx\ dy=\frac{\pi+3\arctg(\frac{5}{\sqrt{3}})}{\color{red}3\color{black}\pi} \)

Saludos!

[pierrot]

Muchas gracias!! me quedó muy claro.

Mediante el cambio de variable \( W=A^{-1}Z \) se puede calcular la integral explícitamente, dando:

\( \displaystyle  P(Z\in D)=\iint_D f_Z(x,y)\ dx\ dy=\frac{\pi+3\arctg(\frac{5}{\sqrt{3}})}{\pi} \)

Saludos!

De nada ¿De verdad pudiste calcularla explícitamente? Me parece que a lo sumo esa integral doble podría dividirse en dos, para luego acabar resolviéndolas usando una tabla de distribución normal. Pero llegar a un número exacto... ¿podrías exponer tu cálculo? Por otra parte difiere mucho del resultado que arroja Derive, habría que probar con Wolfram.

¡Saludos!

[p33rz]

Me había faltado un 3 en el denominador, ahora sí:

\( \displaystyle \iint_D \frac{1}{2\pi \left |{H}\right |^{1/2}}e^{-\frac{H^{-1}Z \cdot Z}{2}}\ dx\ dy \)

Sea \( W=A^{-1}Z \), entonces:

\( HZ \cdot Z=HPA^{t} \cdot PA^{t} \)
\( H^{-1}Z=(AA^{t})^{-1}PA^{t}\cdot PA^{t} \)
\( H^{-1}Z=(A)^{-1}PA^{t}\cdot (A)^{-1}PA^{t} \)
\( H^{-1}Z=W \cdot W \)

con \( S=\left\{(W_x,W_y)\in \mathbb{R}^2: \left |{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}W_y-\displaystyle\frac{W_x}{2}}\right |\leq \left |{2W_x}\right |\right\} \), por lo tanto:

\( \displaystyle \iint_S \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{W \cdot W}{2}}\ dW \)

\( S \) corresponde a 2 sectores que son una \( \displaystyle\frac{\pi+3\arctg(\frac{5}{\sqrt{3}})}{3\pi} \) parte del plano, es decir, igual a \( \displaystyle\frac{2(\pi+3\arctg(\frac{5}{\sqrt{3}}))}{6\pi} \)

Entonces:

\( \displaystyle \iint_S \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{W \cdot W}{2}}\ dW=\frac{\pi+3\arctg(\frac{5}{\sqrt{3}})}{3\pi}\iint_{\mathbb{R}^2} \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{W \cdot W}{2}}\ dW=\frac{\pi+3\arctg(\frac{5}{\sqrt{3}})}{3\pi} * 1 \approx \frac{(1+3*0.393852)}{3} \approx 0.727186 \)

[pierrot]

Me había faltado un 3 en el denominador, ahora sí:
\( \displaystyle \iint_D \frac{1}{2\pi \left |{H}\right |^{1/2}}e^{-\frac{H^{-1}Z \cdot Z}{2}}\ dx\ dy \)

mmm Suponiendo que has llamado \( H=\Sigma_Z \) a la matriz de covarianzas, si se hacen los cálculos a partir de lo planteado en mi primer post se llegaría a:

\( \displaystyle \iint_D \frac{1}{2\pi \sqrt{\left |{\Sigma_Z}\right |}}e^{-\frac{1}{2}\displaystyle Z\Sigma_Z^{-1}Z^t}\ dZ \) siendo \( Z=(x,y) \)

Como \( \Sigma_Z \) es simétrica, \( \Sigma_Z^{-1} \) también y el exponente se puede reescribir como \( \displaystyle-\frac{1}{2}\Sigma_Z^{-1}ZZ^t \) pero es distinto a lo que has escrito tú. Pones \( ZZ \)... ahhh ¡no vi el punto! Es producto interno, ¿no? O sea, \( <Z,Z> \). Voy a seguir viendo ahora .

Ya te diré.

Saludos