[alemar888]

Saludos, tengo una duda con respecto a la esperanza condicional. Observen el siguiente ejemplo:
Sean \( X_1,X_2,X_3 \) variables aleatorias independientes con esperanzas conocidas y sea \( Y=X_1+X_2+X_3 \). Sea \( A=\{Y=X_1+X_2+X_3=4\} \).

Cómo calculo, por ejemplo para \( X_1 \), \( E(X_1 | A) \)?

Puedo decir que \( E(X_1 | A)=E(X_1 | X_1+X_2+X_3=4)=E(4-X_2-X_3)=4-E(X_2)-E(X_3) \)?

Intuitivamente parece tener sentido.

Alguien podría decirme/explicarme si está erróneo?

[Martingalo]

Hola!

Bueno, es que en realidad estas diciendo que \( E(X_1|A)=E(X_1) \) o sea que \( X_1 \) es idependiente de \( A \) y eso es cierto puesto que \( X_1, X_2, X_3 \) son independientes, es decir,

\( E(X_1| Y=4)=E(X_1) \)

ya que \( X_1 \) es independiente de \( Y \).

Saludos.

[alemar888]

Hey, gracias por la rápida respuesta Martingalo!

Pero no veo como \( X_1 \) puede ser independiente de \( Y \). Al considerar el evento \( \{ Y = 4 \} \) de alguna manera ésto me restringiría los posibles valores que puede tomar \( X_1 \)?

Por cierto, buen seudónimo. 

[Martingalo]

Hola!

Tienes toda la razón. No me había parado a pensar en este caso (en que \( X_i \) toma valores discretos y finitos), entonces si que \( Y=4 \) restringe el resultado.

En tal caso dependerá de la situación, porque si \( X_2, X_3 \) toman valores en \( \mathbb{R} \) entonces \( X_1 \) puede tomar cualquier valor igualmente.

En cambio si por ejemplo: \( X_i : \Omega \rightarrow \{0,1,2\} \), entonces que \( Y=4 \) significa que ocurre una de estas tres cosas:

\( X_1=0,X_2=2, X_3=2 \) ó \( X_1=2,X_2=0, X_3=2 \) ó\( X_1=2,X_2=2, X_3=0 \).

Ahora \( E(X_1)=0\frac{1}{3}+1\frac{1}{3}+2\frac{1}{3}=1 \)

No obstante \( E(X_1|Y=4)=2/3 \).

Supongo que hace falta especificar algo más sobre las variables aleatorias no crees? Por supuesto si conociéramos sus funciones de probabilidad (en el caso discreto) o densidad (caso continuo) se podría calcular explícitamente sin problemas.

Saludos.

[alemar888]

Ciertamente debí haber especificado más: las variables tienen distribución normal estándar.

De hecho el problema real que tengo es si \( Y=\sum_{k=1}^K b_k X_k \) con \( \sum_{k=1}^K b_k^2=1 \) para mantener la varianza unitaria, entonces calcular \( E(X_k \cdot X_j | Y) \) para todo \( k,j=1,...,K \).

Entonces para \( k \neq j \) podría separarlo en \( E(X_k| Y) \cdot E(X_j| Y) \) por la independencia.
Y para \( k = j \) queda la varianza \( V(X_k| Y) \).

Estoy completando los detalles de la prueba de un teorema de un libro, entonces si se cumple que \( E(X_k| Y)=E(X_k)=0 \) y \( V(X_k| Y)=V(X_k)=1 \) llegaría al resultado que presentan en el libro.

Cuándo dijiste que si las variables \( X_2,X_3 \) toman valores reales entonces \( X_1 \) puede tomar cualquier valor igualmente dices que \( E(X_k| Y)=E(X_k) \) ?

Saludos

[Martingalo]

Hola,

Ahora parece el problema más concreto. Cuando condicionas por \( Y \) a qué te refieres? Porque en el caso de que las variables sean normales, \( Y= \)número tiene probabilidad 0, luego en tal caso

\( E(X|Y=y)=E(X)=0 \)

ya que la probabilidad que una variable aleatoria continua tome un valor discreto es 0.

[alemar888]

Hola,

Condicionar por \( Y \) es el caso que has mencionado, es decir, \( Y=y \).

Creo entonces que la duda ha sido resuelta.

Muchas gracias, Martingalo.