[Quema]

Hola

Si tengo una v.a. \( Y=1 \) o \( Y=-1 \) con igual probabilidad. Dada una v.a.\( X \) con distribución uniforme en \( [-1,1] \), debo encontrar la distribución de \( a \) tal que \( Y=X+a \) (igualdad es igualdad en distribución) tal que \( E(a/X)=0 \).

Saludos

[Quema]

Hola

Me contesto a mi mismo.

Yo creo que la distribución de \( a \) es \( a=1-x \) con probabilidad \( \displaystyle\frac{1+x}{2} \) y \( a=-1-x \) con probabilidad \( 1-\displaystyle\frac{1+x}{2} \). Por ejemplo si \( X=0 \) eso lleva a que se sume \( 1 \) con probabilidad \( \displaystyle\frac{1}{2} \) y \( -1 \) con igual probabilidad. Claro que la probabilidad puntual de \( X=0 \) es cero. Para cada punto en el intervalo \( [-1,1] \) voy a obtener los valores \( Y=1,Y=-1 \) con cierta probabilidad, pero la probabilidad puntual con la que arranco es cero. No me queda muy claro cómo es que llego a que \( P(Y=1)=P(Y=-1)=\displaystyle\frac{1}{2} \).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 No tiene mucho sentido, o al menos no se lo veo, que digas que a toma el valor \( 1-x \) con probabilidad \( \dfrac{1+x}{2} \). ¿Qué es esa \( x \)? ¿Un parámetro?.

 Lo que tiene que cumplirse, creo, para que \( Y \) e \( X+A \) es lo siguiente. Si consideramos un conjunto medible \( I\subset [-1,1] \) de medida \( 1 \), la variable \( A \) es una variable uniforme en el conjunto:

\(  \{(1-x|x\in I\}\cup \{-1-x|x\in [-1,1]-I\} \)

 de manera que \( A=1-X \) si \( x\in I \) e \( A=-1-X \) si \( x\in [-1,1]-I \).

 Tenemos libertad para esscoger ese subconjunto \( I \).

 No entiendo del todo la condición \( E(A/X)=0 \); teniendo en cuenta que la esperanza condicionada es una v.a, ¿se refiere a que es la v.a que toma el valor cero con probabilidad \( 1 \)?.

Saludos.

[Quema]

Hola

\( E(A_i/X=x)=0 \).

Por ejemplo, si tenemos \( P(Y=0)=P(Y=1)=\displaystyle\frac{1}{2} \)y \( P(X=0)=P(X=1)=\displaystyle\frac{1}{4}, P(X=\displaystyle\frac{1}{2})=\displaystyle\frac{1}{2} \)

Podemos ver que si le agregamos al valor \( X=\displaystyle\frac{1}{2} \) la v.a. \( P(A=1/2)=P(A=-0.5)=0.5 \) obtenemos \( Y \). Además

\( E(A/X=0.5)=0.5(0.5)-0.5(0.5) \).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 mmm... estaba confundido. Lo que dije en mi anterior post no es exactamente así. Es decir hay más posibilidades para la distribución de \( A \). Y ahora ya entiendo lo que querías decir en tu propuesta.

 La forma más fácil de entenderlo es fijarse en como ha de ser la distribución conjunta de \( A \) y \( X \). El soporte son los segmentos rojo y azul marcados en el dibujo.



 Entonces la variable \( A|x=x_0 \) tomará dos valores \( 1-x_0 \) (en el segmento azul) y con probabilidad \( p \) y \( -1-x_0 \) (en el segmento rojo) con probabilidad \( 1-p \).

 Lo que yo hacía en mi anterior post es asignar \( p=1 \) en un intervalo \( I \) y \( p=0 \) en su complementario.

 Sin embargo, para que la esperanza sea cero tiene que cumplirse que: 

\(  (1-x_0)p+(-1-x_0)(1-p)=0 \)

 de donde:

\(  p=\dfrac{1+x_0}{2} \)

 Resulta entonces que la variable \( A \) es una función continua de densidad:

\(  f(a)=\begin{Bmatrix} \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2-a}{2}\right) & \mbox{ si }& a\in [0,2]\\\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2+a}{2}\right) & \mbox{ si }& a\in [-2,0]\end{matrix} \)

 sin más que tener en cuenta que en \( [0,2] \) se tiene que \( A=1-X \) y en \( [-2,0] \) se tiene que \( A=-1-X \).

Saludos.

P.D. Hay un detalle que no me queda todavía claro del todo, y es cuál es la forma correcta de expresar la distribución o densidad conjunta de una variable bidimensional con soporte unidimensional.