¿Me podrías explicar la parte de \( \displaystyle\int_{D}f_{X,Y}(x,y)dxdy \)?
Sí. No sé si responde tu duda, pero lo que había que calcular en ese hilo era la probabilidad de que el vector aleatorio \( (X,Y) \) perteneciera a una cierta región \( D \) del plano. Eso se calcula integrando la función de densidad conjunta en el dominio \( D \). En general, si tienes un vector aleatorio absolutamente continuo \( (X_1,X_2,\cdots,X_k):\Omega\rightarrow{}\mathbb{R}^k \) con densidad \( f_{X_1,X_2,\cdots,X_k} \) entonces para un boreliano \( A\subset{}\mathbb{R}^k \) cualquiera se cumple:
\( P((X_1,X_2,\cdots,X_k)\in A)=\displaystyle\idotsint_{A}\, f_{X_1,X_2,\cdots,X_k}(x_1,x_2,\cdots, x_k)\ dx_1\ dx_2\dots dx_k \)
Saludos
