[felipiyo]

Hola.

Dados dos campos \( (A, B, C) \) y \( (a, b, c) \), no entiendo cómo calcular el producto exterior o producto cuña entre ellos.

Les agradezco si me orientan un poco!

[Luis Fuentes]

Hola

 mmm indica un poco mejor el contexto de tu pregunta. En primer lugar, ¿a qué base se refieren esas coordenadas?.

Saludos.

[felipiyo]

No estoy seguro de estar contestando tu pregunta pero.... ambos son vectores de \( \mathbb{R}^3} \), así que ambos están referidos (supongo) a una base cualquiera de ese subespacio, siendo la misma para ambos.

Y las componentes de ambos vectores, son cada una, una función \( \mathbb{R}^3\longrightarrow{\mathbb{R}} \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Si tienes:

\(  (a,b,c)=ae_1+be_2+ce_3 \)
\(  (A,B,C)=Ae_1+Be_2+Ce_3 \)

 Tienes que calcular:

\(  (a,b,c)\wedge (A,B,C)=(ae_1+be_2+ce_3)(Ae_1+Be_2+Ce_3) \)

 aplicando que:

\(  e_i\wedge e_j=-e_j\wedge e_i,\qquad e_i\wedge e_i=0 \)

 Inténtalo. Puedes comprobar que eso equivale a desarrollar el determinante (con cierto abuso de notación):

\( \begin{bmatrix}{e_2\wedge e_3}&{e_3\wedge e_1}&{e_1\wedge e_2}\\{a}&{b}&{c}\\{A}&{B}&{C}\end{bmatrix} \)

Saludos.

[felipiyo]

Creo que entiendo....

Y cada producto \( e_i \wedge e_j \) da como resultado un vector perpendicular a \( e_i \) y \( e_j \)?

[Luis Fuentes]

Hola

 mmm... no exactamente.

 Insistiría en saber con precisión como te han definido producto exterior; el contexto preciso.

 En realidad \( e_i\wedge e_j \) representa una forma multilineal antisimétrica, no un vector de \( R^3 \) ni tan siquiera un campo vectorial en \( R^3 \).

 Ahora por dualidad las formas bilineales antisimétricas en \( R^3 \) pueden identificarse con los vectores de \( R^3 \) (o campos vectoriales de \( R^3 \) dependiendo del contexto). Con esa identificación (y precisando mucho los conceptos) si podría interpretarse \( e_i\wedge e_j \) como un vector perpendicular a \( e_i,e_j \).

 Esto siendo algo difuso en las respuestas porque la teoría del producto exterior puede verse desde diferentes puntos de vista: desde el puramente algebraico al de la geometría diferencial. En este último caso hay definiciones equivalentes de vectores (una dual de la otra) que modifican la formalización precisa de la idea de vector, campo vectorial, y las operaciones con ellos.

Saludos.

[felipiyo]

El contexto sería el de un curso de cálculo vectorial.

Donde se definió el producto exterior entre dos uno-formas diferenciables como una dos-forma, en donde el campo asociado a esta última es igual al producto vectorial de los campos de las dos primeras.

Me confundía la relación que guardaba con el producto vectorial y el producto escalar, si es que la había.
Pero ahora creo entender.
Gracias!