Hola
Dada una variable aleatoria \( X:\Omega\longrightarrow R \) en un espacio probabilístico \( (\Omega, \beta,p) \).
La función de distribución de \( X \) viene definida como:
\( F(x)=P(X\leq x)=p(X^{-1}(-\infty,x]) \)
Fíjate que es una función de \( R \) en \( R \).
Adicionalmente la variable aleatoria induce en la sigma álgebra de Borel \( (R,\Beta) \) una medida probabilística definida como:
\( \bar{p}(U)=p(X^{-1}(U)) \)
que se llama la probabilidad inducida por la v.a. \( X \).
Fíjate que es una función de \( \Beta \) (los borelianos) en \( R \).
Es claro que ambas cosas función de distribución y propabilidad inducida son por tanto cosas diferentes, aunque intimamente relacionadas.
De hecho:
\( F(x)=\bar{p}((-\infty,x]) \)
Recíprocamente y teniendo en cuenta que los borelianos están generados por los intervalos \( (-\infty,x] \), uno puede recuperar la probabilidad inducida a partir de la función de distribución.
Saludos.
