Hola!
Para el primero, sería suficiente observar que la funcióm \( sign: (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \) definida por:
\( sign(x)=\begin{cases} 1 \ si \ x>0 \\ -1 \ si \ x<0 \\ 0 \ si \ x=0 \end{cases} \)
es medible. Es decir, que las antiimágenes de \( \{0\}, \{1\} y \{-1\} \) son elementos de \( \mathcal{B}(\mathbb{R}) \) donde \( \mathcal{B}(\mathbb{R}) \) representa la \( \sigma \)-álgebra de Borel de los reales. Esto es evidente dado que por ejemplo:
\( sign^{-1}(\{1\})=(0,\infty)\in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \)
Ahora evidentemente si \( X:(\Omega,\mathcal{F})\rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \) es una variable aleatoria (es decir medible), la composición \( sign \circ X \) es también medible luego es también variable aleatoria.
Para el segundo, como \( 1_A(\cdot) \) sólo toma los valores 1 y 0, basta ver que para que \( 1_A(\cdot) \) sea variable aleatoria, la antiimagen de 0 y 1, tiene que ser medible, es decir, pertenecer a la \( \sigma \)-álgebra de tu espacio muestral que yo he llamado \( \mathcal{F} \) y dado que:
\( (1_A)^{-1}(1)=\{\omega\in \Omega: \ \omega \in A \}=A\in \mathcal{F} \)
de ahí sale directamente que A tiene que pertenecer a \( \mathcal{F} \) aunque también podría haberse razonado tomando la antiimagen de 0:
\( (1_A)^{-1}(0)=\{\omega\in \Omega: \ \omega \notin A \}=A^C=\Omega\setminus A \in \mathcal{F} \)
pero como \( \mathcal{F} \) tiene estructura de \( \sigma \)- álgebra, imponer que \( A^c=\Omega\setminus A \in \mathcal{F} \) es equivalente a \( A \in \mathcal{F} \).
Espero que haya sido de ayuda.
Saludos.
