[intael]

Estoy atascado en un problema de probabilidad, el enunciado es:

Un determinado tipo de motor de avión tiene una probabilidad "p" de fallar a lo largo de un viaje. ¿Qué es más seguro, viajar en bimotor o en cuatrimotor, si cada uno de estos aviones puede volar con la mitad de sus motores?

Lo que yo he hecho es:

Avión con un motor=Probabilidad de que el motro falle---> p
Avión bimotor= Probabilidad de que algún motor falle---> 2p
Avión cuatrimotor= Probabilidad de que algún motor falle--->4p

A partir de aquí no sé continuar... No sé cómo plantearlo. La respuesta es:

Si p ≤ 1/3 en cuadrimotor, però si p > 1/3 en bimotor.

[filomates]

Se trata de binomiales.
Para el bimotor tienes que calcular P(X=0) +P(X=1) Aquí es n=2 . Te saldrá un polinomio en p, le llamo A
Para el cuatrimotor tienes que calcular P(X=0) +P(X=1) +P(X=2). Aqui n=4 . Te saldrá un polinomio en p, le llamo B
Recuerda que \(  P(X=r) =\displaystyle\binom{n}{r} p^r  (1-p)^{n-r}  \)
Ahora tienes que investigar para qué valores de p A-B>0  ( o al revés B-A>0)
Espero que la ayuda te sirva

[intael]

Se trata de binomiales.
Para el bimotor tienes que calcular P(X=0) +P(X=1) Aquí es n=2 . Te saldrá un polinomio en p, le llamo A
Para el cuatrimotor tienes que calcular P(X=0) +P(X=1) +P(X=2). Aqui n=4 . Te saldrá un polinomio en p, le llamo B
Recuerda que \(  P(X=r) =\displaystyle\binom{n}{r} p^r  (1-p)^{n-r}  \)
Ahora tienes que investigar para qué valores de p A-B>0  ( o al revés B-A>0)
Espero que la ayuda te sirva

Por qué n=2 y 4 respectivamente? En el enunciado dice que los aviones pueden volar con la mitad de sus motores, de manera que habría que considerar n=1 para el caso del bimotor y n=2 para el caso del cuatrimotor, ¿no es así?

Luego, lo que yo he hecho ha sido calcular la probabilidad binomial dejando p como incógnita en ambos casos. Una vez hecho eso, qué debo hacer con esos polinomios?

Gracias por la ayuda!

[filomates]

¡Hola!
En mi opinión las pruebas independientes que hacemos consisten en llevar cada motor en el viaje. Se supone que los motores son exactamente iguales y que la situación de un motor no influye en la del otro (las "pruebas de Bernouilli" que dan lugar a la binomial deben ser independientes) y entonces hacer un viaje en el bimotor equivale a realizar dos veces el experimento de viajar con un motor. Por eso en este caso n= número de "pruebas de Bernouilli" que realizamos" =2.

Estamos considerando que el "éxito" consiste en que el motor se averíe (recuerda que éxito y fracaso son convencionales y no tienen que ver con su significado  en la vida real).

Fíjate que el enunciado dice que el bimotor necesita al menos un motor funcionando para no averiarse. No dice que obligatoriamente  tenga que volar con un solo motor.

Por tanto, según el enunciado el suceso "viajamos en el bimotor sin estrellarnos" ocurre cuando obtenemos 0 "éxitos" o bien 1 "éxito", es decir cuando no se avería ningún motor o bien cuando se avería 1 motor.
Y la probabilidad de ese suceso es P(x=0) + P(x=1)

Como no te especifican el valor de p, cuando hagas los cálculos no te va a salir un número concreto, sino un polinomio en la variable p, al que yo llamo A, en realidad A(p)

En el caso del cuatrimotor, se razona igual, en este caso realizas la prueba de "el motor hace el recorrido" 4 veces, porque hay 4 motores idénticos y el estado de cada uno no influye en los otros, y por tanto n=4.

Tienes que tener al menos dos motores sin averiarse para no estrellarte, por tanto se admite que no se averíe ninguno (0 "éxitos), que se averíe 1 (1 "éxito")  o que se averíen 2 motores,y el suceso "vuelo sin estrellarme" tiene probabilidad P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

Igual que antes llegas a un polinomio en p, que yo llamo B(p)

Como te preguntan qué avión es más seguro, es decir, en qué avión es mayor la probabilidad del suceso "vuelo sin estrellarme", tienes que estudiar el signo de A(p) - B (p) 

Para aquellos valores de p en los que A(p) - B(p) sea positivo, es más seguro el bimotor y para los valores de p en los que A(p) -B(p) sea negativo es más seguro el cuatrimotor.

Bueno, ahora tienes que intentar razonar esto y completar los detalles.
Si tienes dificultades, pregunta.

PD. A lo mejor te viene bien repasar teoría y ejercicios más sencillos sobre binomiales.
Tecleando en Google "distribución binomial" aparecerán varias páginas. Explorándolas encontrarás alguna que se ajuste al nivel de estudios tuyo.

Ahora tengo que irme, más adelante, si te interesa, puedo buscarte algunas.

Espero  que te sea útil todo esto.
Saludos

Añadido después:  Una página de las muchas en la que puedes encontrar información útil es:      http://www.clasesdeapoyo.com/documents/documents_for_subject/44-distribuciones-de-probabilidad-binomial

[intael]

En primer lugar, muchísimas gracias por la explicación, veo que lo has simplificado mucho de manera que lo entienda y estoy muy agradecido.

Bien, comprendo el razonamiento entero (o creo entenderlo). Al plantear las probabilidades de ambos sucesos y hacer A(p)-B(p)>0 para comprobar si el bimotor es más seguro que el cuatrimotor, resulta que obtengo esta inecuación:

\( 3p^4 -4p^3 +p^2 -4p +2 > 0 \)

La he introducido en Maple, pero no tiene solución... Tal vez me he equivocado en algún paso. Es correcto lo que estoy haciendo?

[filomates]

Hola intael:
He comprobado los cálculos, con todo detalle y sale, después de simplificar,  \(  A(p) - B(p) = -3p^4 + 4p^3 -p^2  \) 

Al buscar las soluciones de \(  A(p) - B(p) = -3p^4 + 4p^3 -p^2  >0  \)  sale  \(  \displaystyle\frac{1}{3} < p  \)
Esperemos que si, que te salgan las soluciones de esta inecuación.
Si así sucede, ¡ejercicio terminado!

Te voy a dar unas indicaciones para el caso de que no te salgan las soluciones

Si no te salen soluciones, busca las soluciones de \(  A(p) - B(p) = -3p^4 + 4p^3 -p^2  = 0  \) 
Te van a salir p=0 (solución doble) p=1 y \(  p=\displaystyle\frac{1}{3}  \)

Como el suceso de que estamos hablando no es ni seguro (p=1) ni imposible (p=0) el que nos interesa es \(  p=\displaystyle\frac{1}{3}  \)

Para ver el signo de la expresión A(p) - B(p) cuando \(  x < \displaystyle\frac{1}{3}  \) le das un valor ligeramente inferior a 1/3. por ejemplo x=0,2 y ves que signo toma.

Para ver el signo de  A(p) - B(p) cuando \(  x > \displaystyle\frac{1}{3}  \) usas x= 0,4 por ejemplo.

Espero que esto te ayude.
Si tienes alguna duda, pregunta.
Saludos

Añadido más tarde: Recuerda que como p es una probabilidad, es un número comprendido entre cero y uno, es decir, que no puede ser ni mayor que 1 ni menor que 0