[felipiyo]

Hola.
Tengo una duda de la que no he podido encontrar una guía...

Sea \( X \) una variable aleatoria, supongamos absolutamente contínua, con función de distribución \( F_x \), y sea \( Y \) tal que \( Y=g(X) \), esto es, que la variable \( Y \) sea una función de \( X \).

¿Cómo puedo determinar la función de distribución de \( Y \)?

[HernanV]

Tenes 2 caminos.

El primero podes considerar que \( \displaystyle \mathbb{F}_{Y}(Y = y) = \mathbb{P}(Y \le y) = \mathbb{P}[g(X) \le y] = \mathbb{P}[X \le g^{-1}(y)] = \mathbb{F}_{X}[X = g^{-1}(y)] \). Es decir, evaluas la función de distribución de X en la inversa del cambio de variables.

Otra posibilidad es con la función de densidad de probabilidad. Derivando m.a.m de la ecuación anterior se obtiene \( \displaystyle f_{Y}(y) = f_{X}[g^{-1}(y)] \cdot \left[g^{-1}(y)\right]^{\prime} \). Dado que \( \displaystyle \left[g^{-1}(y)\right]^{\prime} = \frac{1}{g^{\prime}(y)} \), entonces \( \displaystyle f_{Y}(y) = \frac{f_{X}[g^{-1}(y)]}{g^{\prime}(y)} \).