[Quema]

Hola

Si tengo dos vectores de números reales \( x=(x_1,x_2,..x_n) \) y \( y=(y_1,y_2,..y_n) \) ordenados de forma decreciente, \( x_1\geq{}x_2\geq{}..\geq{}x_n \) y \( y_1\geq{}y_2\geq{}..\geq{}y_n \) y tal que la suma de los elementos de los dos vectores sean iguales \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i}=\displaystyle\sum_{i=1}^n{y_i} \), entonces se dice que \( y \)mayoriza a \( x \), (\( y\geq{}_M x \)) sys \( \displaystyle\sum_{i=1}^t{y_i}\geq{}\displaystyle\sum_{i=1}^t{x_i} \) para todo \( t=1,2,...,n \).

Ahora supongamos que tengo un vector cualquiera \( x \) y cada elemento del vector no puede dividirse en unidades y solamente puede integrarse con otro elemento de ese vector. Por ejemplo: dado el vector \( x=(10, 3, -5) \) y quiero encontrar el vector que es mayorizado por todos las combinaciones de vectores a partir de \( x \). En el ejemplo, y recordando que no puedo dividir cada elemento de \( x \) podemos generar los siguientes vectores \( (8, 0, 0), (5, 3, 0), (10, 0,-2), (13, 0, -5) \). Es fácil de ver que el vector que es mayorizado por todos los otros vectores es: \( (5, 3, 0) \).

Mi pregunta es ¿qué método puedo usar para hallar ese vector a partir de un vector genérico de \( n \) elementos (solamente números enteros)?

Por ejemplo, (por si no queda clara la idea), supongamos que tengo el vector \( (1,1,1,1,-3) \) y quiero encontrar el vector que es mayorizado por todas las combinaciones que surgen a partir de este vector, por prueba se que es \( (1,0,0,0,0) \), la idea es encontrar un método (algoritmo?) para hallarlo.


Saludos

[Héctor Manuel]

No entiendo bien tu pregunta, pero me recuerda mucho el teorema de Muirhead: http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero40/Muirhead.pdf

Saludos.

[Quema]

Hola

Si es algo de eso. Mi pregunta es dado un vector cualquiera, supongamos \( (10,3,-1,-2) \) debo sumar o restar entre sus elementos de forma tal de encontrar un vector que sea mayorizado por todos los otros vectores que he obtenido a partir de ese vector original.

La suma de los elementos de ese vector es 10=10+3-1-2, y puedo formar los siguientes vectores:
(13,0-1,-2), (10,2,0,-2),(7,3,0,0), (8,3,0,-1), (9,3,0,-2), (9,1,0,0), (10,0,0,0) , (8,2,0,0), el primero lo obtuve de sumar el primer y segundo elemento (10+3), el segundo sumé el segundo y tercer elemento, etc. El vector que es mayorizado por todos los otros es (7,3,0,0). Mi pregunta qué método debo seguir de forma general cuando tengo un vector de \( n \) elementos.

Saludos