Dado un espacio de probabilidad \( (\Omega,\mathcal F,P) \) y una variable aleatoria \( X:\Omega\longrightarrow \mathbb{R} \),se define su función de distribución acumulada \( F_{X}:\mathbb{R}\longrightarrow [0,1] \) como \( F_{X}(t)=P(X^{-1}\{(-\infty,t)\}) \) y notamos \( F_{X}(t)=P(X\leq t) \).
Sea \( \beta \) el conjunto de borelianos de la recta real(es decir,el conjunto generado por \( \{(a,b):a,b\in\mathbb{R}\} \) mediante operaciones numerables de intersección ,unión,complemento,combinaciones de estas,etc ,de esos conjuntos).
La probabilidad \( P \) induce una espacio de probabilidad \( (\mathbb{R},\beta,P_{X}) \) como sigue:Si \( B\in \beta \),definimos \( P_{X}(B)=P(X^{-1} (B)) \) y notamos \( P_{X}(B)=P(X\in B) \).Ésta es la función de probabilidad de la variable aleatoria \( X \).
Dadas dos variables aleatorias \( X,Y:\Omega\longrightarrow \mathbb{R} \),si \( P_{X}\equiv P_{Y} \),entonces claramente \( F_{X}\equiv F_{Y} \)(pues las semirrectas son borelianos).La otra implicación también es cierta,pero no es trivial.(teorema de extensión)
