[Michel]

Sea ABC un triángulo acutángulo, D un punto del lado AB, E el punto del lado AC tal que DE es perpendicular a AC y F el punto del lado BC tal que DF es perpendicular a BC. Construir el punto D tal que EF sea paralela a AB.

[Michel]

Se construye la circunferencia circunscrita al triángulo y se traza el diámetro CG, que corta al lado AB en D, por el cual se trazan las perpendiculares DE y DF a AC y a BC, respectivamente.

Para demostrar que D es el punto buscado hemos de demostrar que EF es paralela a AB.

Los triángulos rectángulos CED y CAG son semejantes y también son semejantes los triángulos rectángulos CFD y CBD:
\( \displaystyle\frac{CD}{CA}=\displaystyle\frac{CD}{CG'},  \displaystyle\frac{CF}{CB}=\displaystyle\frac{CD}{CG}\Rightarrow{\displaystyle\frac{CE}{CA}=\displaystyle\frac{CF}{CB}} \)

Teniendo en cuenta el teorema de Thales, resulta que EF y AB son paralelas.