[Eleal]

En el siguiente problema: "un punto p describe un movimiento circular de radio R con velocidad angular \( \displaystyle\frac{d\phi}{dt}=\omega_o t^2 \), donde \( \omega_o, R \) son conocidos. Calcular el ángulo entre \( \vec{v} \) y \( \vec{a} \) para t=1s.

Esto es lo que llevo: se tiene que la velocidad angular es \( \displaystyle\frac{d\phi}{dt}=\omega_o t^2 \), y como la velocidad tangencial viene dada por \( \vec{v}=\phi^{\prime}R\widehat{u_\phi} \)
Entonces \( \overrightarrow{v}=R\omega_o t^2 \widehat{u_\phi} \) y la aceleración (con ecuación general para el movimiento circular \( \vec{a}=-R\omega_o^2t^4\widehat{u_r}+R2\omega_ot \widehat{u_\phi} \)) queda entonces que debo usar el producto escalar entre \( \vec{a} y \vec{v} \), ¿pero cómo puedo resolverlo, (aplicando la "distributiva") si \( \widehat{u_r}\cdot{\widehat{u_r}} \) no necesariamente es igual a 1 porque no siempre conserva la misma dirección igual con \( \widehat{u_\phi} \)


(\( \widehat{u_\phi}  \)es la componente de la base que es perpendicular a \( \widehat{u_r} \), esta última es en la dirección del radio y la \( \widehat{u_\phi} \) es tangente a la circunferencia y \( \perp{\widehat{u_r}} \))

[darkxer0x]

El angulo que te piden es el mismo que hay entre la componente tangencial y normal de la aceleración. Descompón la aceleración, y la tangente del susodichoangulo es el cociente: \( tg \alpha = \displaystyle\frac{a_N}{a_T} \). Si haces un dibujo, y tienes en cuenta que la aceleración tangencial tiene la misma dirección que la velocidad, lo verás.
Para sacar las componentes, se suele utilizar:
\( a_T = \displaystyle\frac{d |\vec{v}|}{dt} \)
\( a_N = \displaystyle\frac{|\vec{v}|^2}{p} \)
p = R en este caso
Hay más "fórmulas" para sacarlo, pero estas son las más eficaces.

[Luis Fuentes]

Hola

 Otro enfoque.

 El vector posición es:

\(  \bar s(t)=(R\cdot Cos(\phi(t)),R\cdot \sen(\phi(t)) \)

 derivando con respecto a t obtienes el vector velocidad \( \bar v(t) \). Derivando de nuevo el vector aceleración \( \bar a(t) \).

 Ahora para calcular el ángulo utiliza simplemente el producto escalar usual:

\(  <\bar v(t),\bar a(t) >=|\bar v(t)||\bar a(t)|cos(\alpha) \)

Saludos.
 

 

[Javi_Tron]

Toma ya !!

vaya enfoque mas claro y elegante !