[Krizalid]

  Bueno, no soy bueno en funciones por lo que me he topado con estos ejercicios y necesito de su dadivosa ayuda.

  Hallar el dominio y recorrido de las siguientes funciones:

  1) \( $f(x)=(x-1)^{2}$ \)

  2) \( f(x)=\left\{\begin{matrix}{ -4}&\mbox{ si }& x<-2\\-1 & \mbox{si}& -2 \leqslant x \leqslant 2\\3 & \mbox{si}& 2<x\end{matrix} \right \)

  3) \( $h(x)=[[x+2]]$ \)


  Sea la función \( $f(x)=|4-x^{2}|$ \). Defina la función a trozos sin emplear las barras de valor absoluto.


 

  Con respecto al gráfico, defina \( $f(x)$ \) a trozos.

  Gracias.

[aladan]

Para el último


\( f(x) = 2x+4........   si ...........-2\leq{x}\leq{-1} \)
\( f(x) = -x+1..........    si....... -1\leq{x}\leq{0} \)
\( f(x) = x+1 ........si ...... 0\leq{x}\leq{1}      \)
\( f(x) = -2x +4 .........si ....... 1\leq{x}\leq{2} \)

Saludos

[Krizalid]

  No entiendo lo que hiciste.

  Por favor te pido que expliques el desarrollo concienzudamente por favor.

[Lupas]

En la gráfica eres capaz de indentificar los 4 trozos supongo. Esos trozos son [-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2]

Ahora que están identificados los trozos vamos uno por uno. Para x entre -2 y -1:

Olvídate del resto de la gráfica, Quédate sólo con la parte que interesa. Ese trozo pertenece a la gráfica de la recta que pasa por (-2,0) y (-1,2). Como puedes comprobar el primer trozo de función que te define aladan es una recta que pasa por esos dos puntos, y luego te matiza que eso sólo vale para x entre -2 y -1.

Basta repetir el proceso para cada uno de los 4 trozos y obtienes la respuesta de aladan.

Si lo que te da problemas es conocer la ecuación de una recta que pasa por dos puntos (x0,y0) y (x1,y1), se emplea la siguiente fórmula:

\( \displaystyle\frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\displaystyle\frac{y-y_0}{y_1-y_0} \)

[Lupas]

En respuesta a los otros ejercicios se procede así:

1 - En principio, y si no nos dicen lo contrario, vamos a considerar que el dominio de una función real es todo R.
2 - Si la función es un cociente, le vamos a quitar aquellos puntos donde se anule el denominador (por ejemplo, el dominio de f(x)=1/x es R-{0})
3 - Si en la función aparecen raíces le debemos quitar aquellos puntos donde el radicando sea negativo (no existen raices reales de números negativos). Por ejemplo, el dominio de raíz de x es [0,+infinito).
4 - En ocasiones nos definen una función sólo en algunos trozos. Por ejemplo, el ejercicio de la gráfica tiene por dominio [-2,2]

Para el recorrido: Una vez calculado el dominio tienes que ver de donde a donde va la función. Por ejemplo x al cuadrado tiene por dominio R y por recorrido [0,+infinito) (tiene un mínimo absoluto en cero y no tiene áximo y es continua). Para funciones sencillas es fácil de ver, para otras complejas hay que hacer un estudio más exhaustivo de la función).

Intenta resolver tú con estas pautas los ejercicios y si aun dudas vuelve a preguntar. Son ejemplos sencillos, no creo que tengas problema.

[Krizalid]

  Bien, entonces para el 1ero. el dominio \( ${\text{Dom }}f = \{ x|x \in ( - \infty ,\infty )\}$ \), es fácil ver que el recorrido \( ${\text{Rec }}f = [0,\infty )$ \)

  Sigo sin entender el 2do. ejercicio, creo que si me explican cómo se procede con una parte, como por ejemplo el \( $-4$ \), podría captar la idea.

  El 3 no lo entiendo 

  El 4 (el de la función \( $f(x)=|4-x^2|$ \)) tampoco lo entiendo

  Y el del gráfico, tengo algunas ideas claras, pero cuando me dice que defina \( $f(x)$ \) a trozos, tengo que hallar cuatro líneas?

[surrealfrog]

Para el caso del ejercicio 2:
Dom \(  f = \left\{{x/x\in{(-\infty,\infty)}}\right\}  \)
Im \(  f = \left\{{-4,-1,3}\right\}  \)

[Krizalid]

  Me lo explicas?, a lo mejor es algo sencillo pero no lo veo.

[surrealfrog]

Es que mira, se trata de una función definida a trozos o seccionalmente continua, en este caso, está dividida en tres trozos o secciones.
La definición de la función nos dice que cuando x es menor a -2, la función vale -4, entonces en este trozo el dominio sería \(  (-\infty,-2)  \) y la imagen sería el valor que toma la función, es decir -4.
Haces lo mismo con los otros dos trozos
Y al final, unes los tres dominios, y las tras imagenes y tiene el dominio y la imagen de toda la función.
Es fácil darse cuenta que uniendo los tres trozos, tienes el resultado que te dije en el anterior post

[Krizalid]

  OK, entendido, gracias.

  Ahora solamente resta el 3) y el del gráfico. En este último quería saber si es que tenía que hallar las ecuaciones de esas cuatro líneas.