Hola.
El primer paso es construir una tabla de frecuencias como la que sigue (lo hago con los primeros 20 encuestados, la extensión al total de los datos es inmediata):
Ahora hay que calcular el estadístico del test,
\( \displaystyle \chi^2=\sum_{i=1}^5\sum_{j=1}^{2}\frac{(F_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} \)
donde:
-\( F_{ij} \) denota las frecuencias empíricas. Es decir, el número de casos observados en la fila \( i \), columna \( j \). En este caso, \( i\in \{1,2,3,4,5\} \) y \( j\in \{1,2\} \)
-\( E_{ij} \) denota a las frecuencias esperadas (o teóricas) en el caso de que las variables
p60 y
p51_1 fueran independientes. Se calculan como el producto de los totales marginales divido el número total de encuestados \( n \); en este ejemplito, \( n=20 \) .
De esta manera el estadístico del test de \( \chi^2 \) mide la diferencia entre el valor que debiera resultar si las variables son independientes y el que se observa en la realidad. Cuanto mayor sea el valor del estadístico, mayor será esta diferencia y mayor relación habrá entre las variables.
Así se tiene que:
\( \begin{gather*}F_{11}=0,\qquad F_{12}=0\\ F_{21}=0,\qquad F_{22}=0\\ F_{31}=2,\qquad F_{32}=4\\ F_{41}=5,\qquad F_{42}=9\\ F_{51}=0,\qquad F_{52}=0 \end{gather*} \)
Por otra parte:
\( \displaystyle \begin{gather*}E_{11}=\frac{7\times 0}{20}=0,\qquad E_{12}=\frac{13\times 0}{20}=0\\ E_{21}=\frac{7\times 0}{20}=0,\qquad E_{22}=\frac{13\times 6}{20}=0\\ E_{31}=\frac{7\times 6}{20}=\frac{21}{10},\qquad E_{32}=\frac{13\times 6}{20}=\frac{39}{10}\\ E_{41}=\frac{7\times 14}{20}=\frac{49}{10},\qquad E_{42}=\frac{13\times 14}{20}=\frac{91}{10}\\ E_{51}=\frac{7\times 0}{20}=0,\qquad E_{52}=\frac{13\times 0}{20}=0\end{gather*} \)
El valor del estadístico queda:
\( {\displaystyle \chi^2=\frac{(F_{11}-E_{11})^2}{E_{11}}+\frac{(F_{12}-E_{12})^2}{E_{12}}+\frac{(F_{21}-E_{21})^2}{E_{21}}+\frac{(F_{22}-E_{22})^2}{E_{22}}+\frac{(F_{31}-E_{31})^2}{E_{31}}+\frac{(F_{32}-E_{32})^2}{E_{32}}+\frac{(F_{41}-E_{41})^2}{E_{41}}+\frac{(F_{42}-E_{42})^2}{E_{42}}+\frac{(F_{51}-E_{51})^2}{E_{51}}+\frac{(F_{52}-E_{52})^2}{E_{52}}} \)
\( {\chi^2=0+0+0+0+\frac{\left(2-\frac{21}{10}\right)^2}{\frac{21}{10}}+\frac{\left(4-\frac{39}{10}\right)^2}{\frac{39}{10}}+\frac{\left(5-\frac{49}{10}\right)^2}{\frac{49}{10}}+\frac{\left(9-\frac{91}{10}\right)^2}{\frac{91}{10}}+0+0=\frac{20}{1911}\simeq 0,0105} \)
Ahora planteamos nuestro test de hipótesis:
\( \mathbf{H_0:} \)
Las VA's p51_1 y p60 son independientes.\( \mathbf{H_1:} \)
No \( H_0 \).Bajo la hipótesis nula (de independecia), se sabe que los valores del estadístico se distribuyen según la distribución de \( \chi^2 \) con \( (5-1)\times (2-1)=4 \) grados de libertad [en general, si la tabla tiene \( k \) filas y \( r \) columnas, el número de grados de libertad será \( (k-1)\times (r-1) \)].
Si se llama \( \displaystyle L=\frac{20}{1911} \) al estadístico antes calculado, el \( p \)-valor será \( p=P(X>L) \) donde \( X\sim \chi_4^2 \). Se rechaza \( H_0 \) si el \( p \)-valor es pequeño (por convención, se toma \( p<0,05 \) pero depende del problema y del margen de error que nos podamos permitir).
En nuestro caso, vemos que \( P(X>0,091)=0,999 \) y \( L\simeq 0,01<0,091\Rightarrow{}p>0,999 \) por lo que claramente se acepta \( H_0 \).
Saludos
PD. Adjunto una tabla de la distribución de \( \chi^2 \).
