[Edurnita]

Quiero saber si me podrían ayudar con estos ejercicios. O por lo menos algunas pautas. Gracias

Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional con función de densidad

\( f(x,y)=\begin{Bmatrix} \alpha e^{-y} & \mbox{ si }& 0<x<y\\0 & \mbox{ en otro caso }&\end{matrix} \)

Determina el valor de \( \alpha  \) para que f(x,y) sea función de densidad.

Determina si X e Y son independientes

[Weierstrass]

Por razones de tiempos: colaboro con algunas pautas.

1) para que sea de densidad debe verificarse que la integral doble sobre R² sea 1. Ademas f debe ser mayor o igual a cero para todo par (x,y)

2) Para saber si las variables son independientes debes hallar las distribuciones marginales y comparar el producto de las mismas con f. ¿es la función producto igual a la función de densidad? }

Saludos

Weierstrass

[HernanV]

Hola,

Si el soporte de la función de densidad conjunta no es un cuadrado en el plano, las variables no pueden ser independientes.

Saludos.

[Edurnita]

No se que quieres decir con esto.

[HernanV]

Que la respuesta al punto 2) es automática.

[Edurnita]

Sée que has querido decir que era trivial pero no entiendo el porquée.

[HernanV]

Supongamos el contrario: las variables aleatorias son independientes y el soporte no es un cuadrado conexo (en realidad basta que sea rectangular y conexo).

Entonces, como las variables son independientes, se tiene que \( \displaystyle f(x,y) = f(x) \cdot f(y) \). Luego, por ser f.d.p, se tiene que cumplir que \( \displaystyle f(x,y) > 0 \), lo que ocurre cuando \( \displaystyle f(x) \cdot f(y) > 0 \). El soporte de la conjunta, se tiene que poder escribir como el producto cartesiano del soporte de las marginales (que también supondremos conexo).

De lo útlimo, es evidente que, por ser un producto cartesiano, si el soporte de la conjunta no es un rectángulo conexo, entonces no puede escribirse como producto cartesiano de los soportes de las marginales.

Por lo tanto, una condición necesaria y suficiente para asegurar (in)dependencia, es observar el soporte de la f.d.p conjunta.

Saludos.