Lo reescribo:
a) En agua pura tenemos $$Kps(Mg(OH)_2) = 8,90\cdot10^{-12}=[Mg^{2+}]([OH^-])^2=x\cdot(2x)^2=4x^3\qquad\to\quad x=\sqrt[3]{\dfrac{8,90\cdot10^{-12}}{4}}=1,305\cdot 10^-4 M=[Mg^{2+}]$$
b) en una solución de hidróxido de sodio forzamos la concentración de $$OH^-$$ es la suma de la aportada por los hidroxilos del hidróxido de sodio mas los del magnesio
$$[OH^-]_{Total}=\overbrace{[OH^-]_{Na^+}}^{0.05}+\overbrace{[OH^-]_{Mg^{2+}}}^{<10^{-4}}\cong=[OH^-]_{Na^+}=0.05M$$
entonces
$$Kps(Mg(OH)_2) = 8,90\cdot10^{-12}=[Mg^{2+}]([OH^-])^2=x\cdot 0.05^2\qquad\to\quad x=\dfrac{8,90\cdot10^{-12}}{ 0.0025}=3,56\cdot 10^{-9} M=[Mg^{2+}]$$
Agregar una base reduce su solubilidad
c) ahora se ve el agregado de un ion común, el cloruro se disocia y aporta magnesio , entonces aumenta la concentración de magnesio , por lo que la que se puede disolver de hidróxido cae
$$[Mg^{2+}]_{total}=[Mg^{2+}]_{MgCl_2}+[Mg^{2+}]_{Mg(OH)_2}=0.05M+x$$
$$Kps(Mg(OH)_2) = 8,90\cdot10^{-12}=[Mg^{2+}]_{total}([OH^-])^2=(0.05M+x)\cdot(2x)^2=4x^3+0.2x^2\qquad\to\quad $$ Se resuelve la ecuación cubica $$x=[Mg^{2+}]\cong 6,67·10^{-6}M$$
d) A Ph 9 la concentración de hidroxilos es $$1\cdot10^{-14}=1\cdot10^{-9}\cdot[OH^-]\qquad\to\quad [OH^-]=1\cdot10^{-5}M$$
$$Kps(Mg(OH)_2) = 8,90\cdot10^{-12}=[Mg^{2+}]([OH^-])^2=x\cdot(1\cdot10^{-5})^2=\qquad\to\quad x=8,9\cdot 10^{-2} M=[Mg^{2+}]$$ se disuelve más.
