Ejercicio 1:Un bolillero contiene \( n \) bolillas numeradas desde \( 1 \) hasta \( n \).Se extraen sucesivamente y sin reposición \( k \) bolillas con \( k<n \),y se suman sus números obteniendo un total \( X \).
(a)Mostrar que \( E(X)=\dfrac{k(n+1)}{2} \).
(b)Mostrar que \( Var(X)=\dfrac{k(n+1)(n-k)}{12} \). Sugerencia:\( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \).
Ejercicio 2:Sea \( (X_{n})_{n\in\mathbb{N}} \) una sucesión de variables aleatorias independientes con distribución uniforme en \( [0,1] \).Definimos \( Y_{n}=n^{-X_{n}} \) para cada \( n\in\mathbb{N} \).
(a)Probar que \( Y_{n}\longrightarrow 0 \) en probabilidad.
(b)Calcular \( P(Y_{n}\geq \alpha \mbox{ para infinitos n}\} \).Deducir que \( (Y_{n}) \) no tiene límite casi seguro.
(c)Mostrar que \( P(Y^{+}=1,Y^{-}=0)=1 \) con \( Y^{+}=limsup Y_{n} \) e \( Y^{-} \) el límite inferior.
Ejercicio 3:Sea \( (X,Y) \) un vector aleatorio en \( \{0,1\ldots,n\}\times (0,1) \) tal que para todo \( 1\leq k\leq n \),y \( 0\leq t\leq 1 \),se tiene que \( P(X=k,Y\leq t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\dfrac{\Gamma(p+q)}{\Gamma(p)\Gamma(q)}\displaystyle\binom{n}{k}y^{p+k-1}(1-y)^{q+n-k-1}dy \),con \( p,q>0 \).
(a)Hallar la distribución condicional de \( Y|X \) y calcular \( E(\dfrac{Y}{p+X}). \)
(b)Hallar la distribución condicional de \( X|Y \) y calcular \( E(XY) \).
Ejercicio 4:Sea \( (X_{n}) \) una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función de densidad \( f(x)=\dfrac{4}{\alpha^{2}}x^{-\frac{2}{\alpha}-1}\log(x)\mathbb{I}_{(1,\infty)}(x) \),donde \( \alpha>0 \).
(a)Probar que \( \dfrac{\log(\prod_{k=1}^{n}X_{k})-n\alpha}{\sqrt{\log(\prod_{k=1}^{n}X_{k})}}\longrightarrow Z\sim N(0,\dfrac{\alpha}{2}) \) en distribución.
(b)Sea \( (V_{n},Y_{n}) \) una sucesión de vectores aleatorios tal que para cada \( n \),las variables aleatorias \( V_{n},Y_{n} \) son independientes y vale que \( V_{n}\longrightarrow V \),\( Y_{n}\longrightarrow Y \) en distribución.Probar que \( V_{n}+Y_{n}\longrightarrow V'+Y' \) en distribución,donde \( V',Y' \) son independientes y \( V\sim V',Y\sim Y' \).
