[mendoza]

Hola, me gustaria saber si me podeis ayudar con una pregunta de examen, el enunciado del problema (de teoria) es:

Obtener la expresión de la varianza de la suma de dos variables aleatorias tanto en el caso de que sean independientes como el caso de que no lo sean.


Gracias de antemano a tod@s,
Mendoza

[pierrot]

Hola.

Si \( X \) e \( Y \) son VA reales tal que \( \mathbb{E}(X^2)<\infty \), \( \mathbb{E}(Y^2)<\infty \) entonces

\( {\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{E}[(X+Y)^2]-[\mathbb{E}(X+Y)]^2=\mathbb{E}(X^2+2XY+Y^2)-\mathbb{E}(X+Y)\cdot \mathbb{E}(X+Y)} \)

\( {{\Rightarrow{}\mathbb{V}(X+Y)=\mathbb{E}(X^2)+2\mathbb{E}(XY)+\mathbb{E}(Y^2)-[\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)]\cdot [\mathbb{E}(X)+\mathbb{E}(Y)]=\mathbb{E}(X^2)-\mathbb{E}(X)^2}+\mathbb{E}(Y^2)-\mathbb{E}(Y)^2+2[\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\cdot \mathbb{E}(Y)]} \)

Ahora identifica términos y estudia qué ocurre cuando \( X \) e \( Y \) son independientes.

Saludos

[Weierstrass]

Var (x+y)=Var (x)+Var (y)+2 Cov(x,y). Para toda x, y :V.A

Saludos

[mendoza]

Muchas gracias, pero una sola cosita....como estudio si es independiente o dependiente?? :S
es correcto lo siguiente??

INDEPENDENCIA-------->COVARIANZA=0
ya que
COV=0 no es INDEPENDIENTE
COV=E(XY)-E(X)·E(Y)=0

Gracias y un saludo,
Mendoza

[Weierstrass]

Si son independientes entonces la Cov es nula

Si la Cov es nula no necesariamente las variables son independientes.



Para saber si son independientes debes estudiar las funciones marginales de las variables y observar si la función de densidad conjunta (si son continuas) es igual al producto de marginales.

Saludos