[rupiopan]

 Hola:

 Nos piden determinar de cuantas maneras se pueden ordenar 200 bolas en 4 cajas con las siguientes restricciones:

 a) en la primera caja de deben introducir un número par de bolas
 B) en ninguna caja se deben introducir más de 80

 si alguien pudiera explicarme como resolver esto se lo agradecería!

 Saludos!!

[pepito]

Asumo que son bolillas indistinguibles y cajas numeradas.

a) Una forma bastante interesante de resolverlo para llegar a un número conocido en vez de una suma de combinatorios que uno no sabría calcular, es esta:

- Probar que para cada \( n \) impar, la diferencia entre la cantidad de formas de repartir las 200 bolillas en las 4 cajas con \( n \) en la primera, y la cantidad de formas de repartirlas con \( n+1 \) en la primera, es \( 201-n \).

- Si \( x \) es la cantidad de formas de repartirlas con una cantidad impar en la primera caja, e \( y \) con una cantidad par, se tiene que

\( x-(y-\binom{202}{2})=\displaystyle\sum_{i=1}^{100}(201-(2i-1)) \)

(para adaptarlo a lo anterior, tuve que restarle a \( y \) la cantidad de formas de repartirlas con 0 bolillas en la primera caja)

- Pero a parte se sabe que \( x+y=\binom{203}{3} \), o sea que se puede despejar \( x \) e \( y \).

B) Aplicando el principio de inclusión - exclusión, te debería ser bastante fácil calcular la cantidad de formas de repartirlas con más de 80 en alguna caja.

[rupiopan]

 No lo veo. Demasiado complejo, no podría poner las condiciones en un binomio o combinación de binomios? lo de x-y no lo veo

 Gracias!

[pepito]

Podrías responder \( \displaystyle\sum_{i=0}^{100}\binom{200-2i+2}{2} \), y sería una respuesta aceptada, claro. También podrías responder que el número buscado es aquel que equivale a la cantidad de formas de repartir 200 bolillas indistinguibles en 4 cajas numeradas de forma tal que la primera caja contenga una cantidad par de bolillas. Esta segunda tal vez no sería aceptada, pero por mera convención.