\( a) \) Primero notá que eso es equivalente a probar que \( P\left(\displaystyle\bigcap_{i=1}^kA_{p_i}\right)=\displaystyle\prod_{i=1}^kP(A_{p_i}) \).
Ahora, fijado \( 1\le i\le k \), se tiene que \( P(A_{p_i})=\dfrac{\frac{n}{p_i}}{n}=\dfrac{1}{p_i} \), de modo que \( \displaystyle\prod_{i=1}^kP(A_{p_i})=\displaystyle\prod_{i=1}^k\dfrac{1}{p_i} \).
Después, para calcular \( P\left(\displaystyle\bigcap_{i=1}^kA_{p_i}\right) \), habría que hacer también "casos favorables sobre casos totales". Los casos totales son \( n \), y los casos favorables son \( \dfrac{n}{\prod_{i=1}^kp_i} \), dado que, el que un número sea divisible simultaneamente por \( p_1,\ldots,p_k \) es equivalente a que sea divisible \( \prod_{i=1}^kp_i \) (notá que, además, como \( p_1\mid n,\ldots,p_k\mid n \) y son todos divisores primos, podés asegurar que \( \prod_{i=1}^kp_i\mid n \)). Lo que queda es que \( P\left(\displaystyle\bigcap_{i=1}^kA_{p_i}\right)=\displaystyle\prod_{i=1}^k\dfrac{1}{p_1} \).
\( b) \) Sea \( B \) el evento "el número de la bolilla extraida es coprimo con \( n \)". Si \( p_1,\ldots,p_j \) son todos los divisores primos de \( n \), entonces \( B=\displaystyle\bigcap_{i=1}^j(A_{p_i})^c \), una intersección de eventos que también son independientes. Por lo tanto, \( P(B)=P\left(\displaystyle\bigcap_{i=1}^j(A_{p_i})^c\right)=\displaystyle\prod_{i=1}^jP((A_{p_i})^c)=\displaystyle\prod_{i=1}^j(1-P(A_{p_i}}))=\displaystyle\prod_{i=1}^j\left(1-\frac{1}{p_i}\right) \). Esto significa que los casos favorables a \( B \) son \( n\displaystyle\prod_{i=1}^j\left(1-\frac{1}{p_i}\right) \).
